Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56552 / 14040
↖ ↑ ↗
← N 80.316424°
W 24.675293°		 ← 51.37 m → N 80.316424°
W 24.672546°		 →
↑
51.35 m
↓
↑
51.35 m
↓
N 80.315963°
W 24.675293°		 ← 51.38 m →
2 638 m²		 N 80.315963°
W 24.672546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431461334228516 y=0.107120513916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431461334228516 × 217)
    floor (0.431461334228516 × 131072)
    floor (56552.5)     		tx = 56552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107120513916016 × 217)
    floor (0.107120513916016 × 131072)
    floor (14040.5)     		ty = 14040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56552 / 14040 ti = "17/56552/14040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56552/14040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56552 ÷ 217
    56552 ÷ 131072     		x = 0.43145751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14040 ÷ 217
    14040 ÷ 131072     		y = 0.10711669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43145751953125 × 2 - 1) × π
    -0.1370849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43066511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10711669921875 × 2 - 1) × π
    0.7857666015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46855858283441
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43066511} λ = -0.43066511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46855858283441))-π/2
    2×atan(11.8054180495673)-π/2
    2×1.4862911878014-π/2
    2.97258237560281-1.57079632675     		φ = 1.40178605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43066511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.675293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40178605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.316424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56552 KachelY 14040 -0.43066511 1.40178605 -24.675293 80.316424
    Oben rechts KachelX + 1 56553 KachelY 14040 -0.43061717 1.40178605 -24.672546 80.316424
    Unten links KachelX 56552 KachelY + 1 14041 -0.43066511 1.40177799 -24.675293 80.315963
    Unten rechts KachelX + 1 56553 KachelY + 1 14041 -0.43061717 1.40177799 -24.672546 80.315963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40178605-1.40177799) × R
    8.0599999998654e-06 × 6371000     		dl = 51.3502599991424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40178605-1.40177799) × R
    8.0599999998654e-06 × 6371000     		dr = 51.3502599991424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43066511--0.43061717) × cos(1.40178605) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.168206810250392 × 6371000     		do = 51.3746894937912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43066511--0.43061717) × cos(1.40177799) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.168214755403854 × 6371000     		du = 51.377116148167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40178605)-sin(1.40177799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168206810250392-0.168214755403854)×R²
    abs(-0.43061717--0.43066511)×7.94515346272395e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.94515346272395e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.94515346272395e-06×40589641000000     		ar = 2638.16596758724m²