Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56551 / 14039
↖ ↑ ↗
← N 80.316886°
W 24.678039°		 ← 51.36 m → N 80.316886°
W 24.675293°		 →
↑
51.35 m
↓
↑
51.35 m
↓
N 80.316424°
W 24.678039°		 ← 51.36 m →
2 637 m²		 N 80.316424°
W 24.675293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431453704833984 y=0.107112884521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431453704833984 × 217)
    floor (0.431453704833984 × 131072)
    floor (56551.5)     		tx = 56551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107112884521484 × 217)
    floor (0.107112884521484 × 131072)
    floor (14039.5)     		ty = 14039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56551 / 14039 ti = "17/56551/14039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56551/14039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56551 ÷ 217
    56551 ÷ 131072     		x = 0.431449890136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14039 ÷ 217
    14039 ÷ 131072     		y = 0.107109069824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431449890136719 × 2 - 1) × π
    -0.137100219726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.43071304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107109069824219 × 2 - 1) × π
    0.785781860351562 × 3.1415926535     		Φ = 2.46860651973403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43071304} λ = -0.43071304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46860651973403))-π/2
    2×atan(11.8059839782717)-π/2
    2×1.48629521936267-π/2
    2.97259043872533-1.57079632675     		φ = 1.40179411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43071304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.678039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40179411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.316886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56551 KachelY 14039 -0.43071304 1.40179411 -24.678039 80.316886
    Oben rechts KachelX + 1 56552 KachelY 14039 -0.43066511 1.40179411 -24.675293 80.316886
    Unten links KachelX 56551 KachelY + 1 14040 -0.43071304 1.40178605 -24.678039 80.316424
    Unten rechts KachelX + 1 56552 KachelY + 1 14040 -0.43066511 1.40178605 -24.675293 80.316424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40179411-1.40178605) × R
    8.06000000008744e-06 × 6371000     		dl = 51.3502600005571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40179411-1.40178605) × R
    8.06000000008744e-06 × 6371000     		dr = 51.3502600005571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43071304--0.43066511) × cos(1.40179411) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.168198865086001 × 6371000     		do = 51.3615468863295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43071304--0.43066511) × cos(1.40178605) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.168206810250392 × 6371000     		du = 51.3639730378563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40179411)-sin(1.40178605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168198865086001-0.168206810250392)×R²
    abs(-0.43066511--0.43071304)×7.94516439023285e-06×R²
    4.79299999999738e-05×7.94516439023285e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×7.94516439023285e-06×40589641000000     		ar = 2637.4910785508m²