Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56548 / 87364
↖ ↑ ↗
← S 51.296276°
W 24.686279°		 ← 190.94 m → S 51.296276°
W 24.683533°		 →
↑
191 m
↓
↑
191 m
↓
S 51.297994°
W 24.686279°		 ← 190.93 m →
36 470 m²		 S 51.297994°
W 24.683533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431430816650391 y=0.666538238525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431430816650391 × 217)
    floor (0.431430816650391 × 131072)
    floor (56548.5)     		tx = 56548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666538238525391 × 217)
    floor (0.666538238525391 × 131072)
    floor (87364.5)     		ty = 87364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56548 / 87364 ti = "17/56548/87364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56548/87364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56548 ÷ 217
    56548 ÷ 131072     		x = 0.431427001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87364 ÷ 217
    87364 ÷ 131072     		y = 0.666534423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431427001953125 × 2 - 1) × π
    -0.13714599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43085685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666534423828125 × 2 - 1) × π
    -0.33306884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.04636664490659
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43085685} λ = -0.43085685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04636664490659))-π/2
    2×atan(0.351211509825485)-π/2
    2×0.337753707472418-π/2
    0.675507414944837-1.57079632675     		φ = -0.89528891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43085685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.686279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89528891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.296276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56548 KachelY 87364 -0.43085685 -0.89528891 -24.686279 -51.296276
    Oben rechts KachelX + 1 56549 KachelY 87364 -0.43080892 -0.89528891 -24.683533 -51.296276
    Unten links KachelX 56548 KachelY + 1 87365 -0.43085685 -0.89531889 -24.686279 -51.297994
    Unten rechts KachelX + 1 56549 KachelY + 1 87365 -0.43080892 -0.89531889 -24.683533 -51.297994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89528891--0.89531889) × R
    2.9979999999985e-05 × 6371000     		dl = 191.002579999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89528891--0.89531889) × R
    2.9979999999985e-05 × 6371000     		dr = 191.002579999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43085685--0.43080892) × cos(-0.89528891) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.62529338008288 × 6371000     		do = 190.940855887787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43085685--0.43080892) × cos(-0.89531889) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.625269983716654 × 6371000     		du = 190.933711525901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89528891)-sin(-0.89531889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62529338008288-0.625269983716654)×R²
    abs(-0.43080892--0.43085685)×2.33963662255032e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33963662255032e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33963662255032e-05×40589641000000     		ar = 36469.5138089338m²