Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56548 / 16228
↖ ↑ ↗
← N 79.251537°
W 24.686279°		 ← 56.95 m → N 79.251537°
W 24.683533°		 →
↑
56.96 m
↓
↑
56.96 m
↓
N 79.251025°
W 24.686279°		 ← 56.95 m →
3 244 m²		 N 79.251025°
W 24.683533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431430816650391 y=0.123813629150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431430816650391 × 217)
    floor (0.431430816650391 × 131072)
    floor (56548.5)     		tx = 56548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123813629150391 × 217)
    floor (0.123813629150391 × 131072)
    floor (16228.5)     		ty = 16228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56548 / 16228 ti = "17/56548/16228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56548/16228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56548 ÷ 217
    56548 ÷ 131072     		x = 0.431427001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16228 ÷ 217
    16228 ÷ 131072     		y = 0.123809814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431427001953125 × 2 - 1) × π
    -0.13714599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43085685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123809814453125 × 2 - 1) × π
    0.75238037109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36367264646573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43085685} λ = -0.43085685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36367264646573))-π/2
    2×atan(10.6299197875118)-π/2
    2×1.4769982918239-π/2
    2.9539965836478-1.57079632675     		φ = 1.38320026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43085685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.686279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38320026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.251537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56548 KachelY 16228 -0.43085685 1.38320026 -24.686279 79.251537
    Oben rechts KachelX + 1 56549 KachelY 16228 -0.43080892 1.38320026 -24.683533 79.251537
    Unten links KachelX 56548 KachelY + 1 16229 -0.43085685 1.38319132 -24.686279 79.251025
    Unten rechts KachelX + 1 56549 KachelY + 1 16229 -0.43080892 1.38319132 -24.683533 79.251025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38320026-1.38319132) × R
    8.94000000006834e-06 × 6371000     		dl = 56.9567400004354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38320026-1.38319132) × R
    8.94000000006834e-06 × 6371000     		dr = 56.9567400004354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43085685--0.43080892) × cos(1.38320026) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186497678964244 × 6371000     		do = 56.9493098388446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43085685--0.43080892) × cos(1.38319132) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186506462108079 × 6371000     		du = 56.9519918774761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38320026)-sin(1.38319132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186497678964244-0.186506462108079)×R²
    abs(-0.43080892--0.43085685)×8.7831438356778e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.7831438356778e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.7831438356778e-06×40589641000000     		ar = 3243.72341375378m²