Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56547 / 30302
↖ ↑ ↗
← N 69.070526°
W 24.689026°		 ← 109.10 m → N 69.070526°
W 24.686279°		 →
↑
109.14 m
↓
↑
109.14 m
↓
N 69.069544°
W 24.689026°		 ← 109.11 m →
11 907 m²		 N 69.069544°
W 24.686279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431423187255859 y=0.231189727783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431423187255859 × 217)
    floor (0.431423187255859 × 131072)
    floor (56547.5)     		tx = 56547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231189727783203 × 217)
    floor (0.231189727783203 × 131072)
    floor (30302.5)     		ty = 30302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56547 / 30302 ti = "17/56547/30302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56547/30302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56547 ÷ 217
    56547 ÷ 131072     		x = 0.431419372558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30302 ÷ 217
    30302 ÷ 131072     		y = 0.231185913085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431419372558594 × 2 - 1) × π
    -0.137161254882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.43090479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231185913085938 × 2 - 1) × π
    0.537628173828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.68900872121306
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43090479} λ = -0.43090479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68900872121306))-π/2
    2×atan(5.41411115067438)-π/2
    2×1.38815220672155-π/2
    2.7763044134431-1.57079632675     		φ = 1.20550809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43090479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.689026°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20550809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.070526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56547 KachelY 30302 -0.43090479 1.20550809 -24.689026 69.070526
    Oben rechts KachelX + 1 56548 KachelY 30302 -0.43085685 1.20550809 -24.686279 69.070526
    Unten links KachelX 56547 KachelY + 1 30303 -0.43090479 1.20549096 -24.689026 69.069544
    Unten rechts KachelX + 1 56548 KachelY + 1 30303 -0.43085685 1.20549096 -24.686279 69.069544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20550809-1.20549096) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dl = 109.135230000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20550809-1.20549096) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dr = 109.135230000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43090479--0.43085685) × cos(1.20550809) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.357218528484384 × 6371000     		do = 109.103733403983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43090479--0.43085685) × cos(1.20549096) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.357234528208901 × 6371000     		du = 109.108620131683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20550809)-sin(1.20549096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357218528484384-0.357234528208901)×R²
    abs(-0.43085685--0.43090479)×1.59997245169352e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59997245169352e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59997245169352e-05×40589641000000     		ar = 11907.3276962274m²