Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56547 / 16237
↖ ↑ ↗
← N 79.246926°
W 24.689026°		 ← 56.99 m → N 79.246926°
W 24.686279°		 →
↑
57.02 m
↓
↑
57.02 m
↓
N 79.246413°
W 24.689026°		 ← 56.99 m →
3 249 m²		 N 79.246413°
W 24.686279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431423187255859 y=0.123882293701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431423187255859 × 217)
    floor (0.431423187255859 × 131072)
    floor (56547.5)     		tx = 56547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123882293701172 × 217)
    floor (0.123882293701172 × 131072)
    floor (16237.5)     		ty = 16237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56547 / 16237 ti = "17/56547/16237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56547/16237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56547 ÷ 217
    56547 ÷ 131072     		x = 0.431419372558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16237 ÷ 217
    16237 ÷ 131072     		y = 0.123878479003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431419372558594 × 2 - 1) × π
    -0.137161254882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.43090479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123878479003906 × 2 - 1) × π
    0.752243041992188 × 3.1415926535     		Φ = 2.36324121436915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43090479} λ = -0.43090479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36324121436915))-π/2
    2×atan(10.6253346880821)-π/2
    2×1.47695805275363-π/2
    2.95391610550727-1.57079632675     		φ = 1.38311978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43090479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.689026°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38311978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.246926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56547 KachelY 16237 -0.43090479 1.38311978 -24.689026 79.246926
    Oben rechts KachelX + 1 56548 KachelY 16237 -0.43085685 1.38311978 -24.686279 79.246926
    Unten links KachelX 56547 KachelY + 1 16238 -0.43090479 1.38311083 -24.689026 79.246413
    Unten rechts KachelX + 1 56548 KachelY + 1 16238 -0.43085685 1.38311083 -24.686279 79.246413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38311978-1.38311083) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000     		dl = 57.0204500000482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38311978-1.38311083) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000     		dr = 57.0204500000482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43090479--0.43085685) × cos(1.38311978) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186576746370888 × 6371000     		do = 56.9853408270833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43090479--0.43085685) × cos(1.38311083) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186585539204895 × 6371000     		du = 56.9880263849168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38311978)-sin(1.38311083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186576746370888-0.186585539204895)×R²
    abs(-0.43085685--0.43090479)×8.79283400778696e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.79283400778696e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.79283400778696e-06×40589641000000     		ar = 3249.406343244m²