Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56546 / 87346
↖ ↑ ↗
← S 51.265352°
W 24.691773°		 ← 191.11 m → S 51.265352°
W 24.689026°		 →
↑
191.07 m
↓
↑
191.07 m
↓
S 51.267071°
W 24.691773°		 ← 191.10 m →
36 514 m²		 S 51.267071°
W 24.689026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431415557861328 y=0.666400909423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431415557861328 × 217)
    floor (0.431415557861328 × 131072)
    floor (56546.5)     		tx = 56546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666400909423828 × 217)
    floor (0.666400909423828 × 131072)
    floor (87346.5)     		ty = 87346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56546 / 87346 ti = "17/56546/87346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56546/87346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56546 ÷ 217
    56546 ÷ 131072     		x = 0.431411743164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87346 ÷ 217
    87346 ÷ 131072     		y = 0.666397094726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431411743164062 × 2 - 1) × π
    -0.137176513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43095273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666397094726562 × 2 - 1) × π
    -0.332794189453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04550378071342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43095273} λ = -0.43095273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04550378071342))-π/2
    2×atan(0.351514688443715)-π/2
    2×0.338023569941148-π/2
    0.676047139882296-1.57079632675     		φ = -0.89474919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43095273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.691773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89474919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.265352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56546 KachelY 87346 -0.43095273 -0.89474919 -24.691773 -51.265352
    Oben rechts KachelX + 1 56547 KachelY 87346 -0.43090479 -0.89474919 -24.689026 -51.265352
    Unten links KachelX 56546 KachelY + 1 87347 -0.43095273 -0.89477918 -24.691773 -51.267071
    Unten rechts KachelX + 1 56547 KachelY + 1 87347 -0.43090479 -0.89477918 -24.689026 -51.267071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89474919--0.89477918) × R
    2.99900000000353e-05 × 6371000     		dl = 191.066290000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89474919--0.89477918) × R
    2.99900000000353e-05 × 6371000     		dr = 191.066290000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43095273--0.43090479) × cos(-0.89474919) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.625714480954357 × 6371000     		do = 191.109308374296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43095273--0.43090479) × cos(-0.89477918) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.625691086908391 × 6371000     		du = 191.102163230496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89474919)-sin(-0.89477918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625714480954357-0.625691086908391)×R²
    abs(-0.43090479--0.43095273)×2.33940459664073e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33940459664073e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33940459664073e-05×40589641000000     		ar = 36513.8639400786m²