Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56546 / 29780
↖ ↑ ↗
← N 69.576730°
W 24.691773°		 ← 106.58 m → N 69.576730°
W 24.689026°		 →
↑
106.52 m
↓
↑
106.52 m
↓
N 69.575772°
W 24.691773°		 ← 106.58 m →
11 353 m²		 N 69.575772°
W 24.689026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431415557861328 y=0.227207183837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431415557861328 × 217)
    floor (0.431415557861328 × 131072)
    floor (56546.5)     		tx = 56546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227207183837891 × 217)
    floor (0.227207183837891 × 131072)
    floor (29780.5)     		ty = 29780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56546 / 29780 ti = "17/56546/29780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56546/29780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56546 ÷ 217
    56546 ÷ 131072     		x = 0.431411743164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29780 ÷ 217
    29780 ÷ 131072     		y = 0.227203369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431411743164062 × 2 - 1) × π
    -0.137176513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43095273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227203369140625 × 2 - 1) × π
    0.54559326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71403178281473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43095273} λ = -0.43095273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71403178281473))-π/2
    2×atan(5.55129804733449)-π/2
    2×1.39256967514156-π/2
    2.78513935028311-1.57079632675     		φ = 1.21434302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43095273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.691773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21434302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.576730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56546 KachelY 29780 -0.43095273 1.21434302 -24.691773 69.576730
    Oben rechts KachelX + 1 56547 KachelY 29780 -0.43090479 1.21434302 -24.689026 69.576730
    Unten links KachelX 56546 KachelY + 1 29781 -0.43095273 1.21432630 -24.691773 69.575772
    Unten rechts KachelX + 1 56547 KachelY + 1 29781 -0.43090479 1.21432630 -24.689026 69.575772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21434302-1.21432630) × R
    1.67200000000811e-05 × 6371000     		dl = 106.523120000517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21434302-1.21432630) × R
    1.67200000000811e-05 × 6371000     		dr = 106.523120000517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43095273--0.43090479) × cos(1.21434302) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.348952685696656 × 6371000     		do = 106.579132253942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43095273--0.43090479) × cos(1.21432630) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.348968354634419 × 6371000     		du = 106.583917950854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21434302)-sin(1.21432630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348952685696656-0.348968354634419)×R²
    abs(-0.43090479--0.43095273)×1.56689377638908e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.56689377638908e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.56689377638908e-05×40589641000000     		ar = 11353.396588597m²