Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56546 / 16462
↖ ↑ ↗
← N 79.131012°
W 24.691773°		 ← 57.59 m → N 79.131012°
W 24.689026°		 →
↑
57.59 m
↓
↑
57.59 m
↓
N 79.130494°
W 24.691773°		 ← 57.59 m →
3 317 m²		 N 79.130494°
W 24.689026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431415557861328 y=0.125598907470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431415557861328 × 217)
    floor (0.431415557861328 × 131072)
    floor (56546.5)     		tx = 56546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125598907470703 × 217)
    floor (0.125598907470703 × 131072)
    floor (16462.5)     		ty = 16462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56546 / 16462 ti = "17/56546/16462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56546/16462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56546 ÷ 217
    56546 ÷ 131072     		x = 0.431411743164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16462 ÷ 217
    16462 ÷ 131072     		y = 0.125595092773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431411743164062 × 2 - 1) × π
    -0.137176513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43095273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125595092773438 × 2 - 1) × π
    0.748809814453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.35245541195464
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43095273} λ = -0.43095273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35245541195464))-π/2
    2×atan(10.5113477528687)-π/2
    2×1.47594651359478-π/2
    2.95189302718955-1.57079632675     		φ = 1.38109670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43095273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.691773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38109670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.131012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56546 KachelY 16462 -0.43095273 1.38109670 -24.691773 79.131012
    Oben rechts KachelX + 1 56547 KachelY 16462 -0.43090479 1.38109670 -24.689026 79.131012
    Unten links KachelX 56546 KachelY + 1 16463 -0.43095273 1.38108766 -24.691773 79.130494
    Unten rechts KachelX + 1 56547 KachelY + 1 16463 -0.43090479 1.38108766 -24.689026 79.130494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38109670-1.38108766) × R
    9.04000000012672e-06 × 6371000     		dl = 57.5938400008074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38109670-1.38108766) × R
    9.04000000012672e-06 × 6371000     		dr = 57.5938400008074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43095273--0.43090479) × cos(1.38109670) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.1885639187016 × 6371000     		do = 57.5922744067651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43095273--0.43090479) × cos(1.38108766) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.188572796524603 × 6371000     		du = 57.5949859224252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38109670)-sin(1.38108766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1885639187016-0.188572796524603)×R²
    abs(-0.43090479--0.43095273)×8.87782300257323e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.87782300257323e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.87782300257323e-06×40589641000000     		ar = 3317.03832088077m²