Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56545 / 30306
↖ ↑ ↗
← N 69.066600°
W 24.694519°		 ← 109.10 m → N 69.066600°
W 24.691773°		 →
↑
109.07 m
↓
↑
109.07 m
↓
N 69.065619°
W 24.694519°		 ← 109.11 m →
11 900 m²		 N 69.065619°
W 24.691773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431407928466797 y=0.231220245361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431407928466797 × 217)
    floor (0.431407928466797 × 131072)
    floor (56545.5)     		tx = 56545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231220245361328 × 217)
    floor (0.231220245361328 × 131072)
    floor (30306.5)     		ty = 30306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56545 / 30306 ti = "17/56545/30306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56545/30306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56545 ÷ 217
    56545 ÷ 131072     		x = 0.431404113769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30306 ÷ 217
    30306 ÷ 131072     		y = 0.231216430664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431404113769531 × 2 - 1) × π
    -0.137191772460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.43100066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231216430664062 × 2 - 1) × π
    0.537567138671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.68881697361458
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43100066} λ = -0.43100066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68881697361458))-π/2
    2×atan(5.41307310738766)-π/2
    2×1.38811795575677-π/2
    2.77623591151355-1.57079632675     		φ = 1.20543958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43100066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.694519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20543958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.066600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56545 KachelY 30306 -0.43100066 1.20543958 -24.694519 69.066600
    Oben rechts KachelX + 1 56546 KachelY 30306 -0.43095273 1.20543958 -24.691773 69.066600
    Unten links KachelX 56545 KachelY + 1 30307 -0.43100066 1.20542246 -24.694519 69.065619
    Unten rechts KachelX + 1 56546 KachelY + 1 30307 -0.43095273 1.20542246 -24.691773 69.065619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20543958-1.20542246) × R
    1.71199999998706e-05 × 6371000     		dl = 109.071519999175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20543958-1.20542246) × R
    1.71199999998706e-05 × 6371000     		dr = 109.071519999175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43100066--0.43095273) × cos(1.20543958) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.357282517413515 × 6371000     		do = 109.100514800842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43100066--0.43095273) × cos(1.20542246) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.357298507378859 × 6371000     		du = 109.105397529119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20543958)-sin(1.20542246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357282517413515-0.357298507378859)×R²
    abs(-0.43095273--0.43100066)×1.5989965344243e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.5989965344243e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.5989965344243e-05×40589641000000     		ar = 11900.0252655991m²