Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56545 / 30303
↖ ↑ ↗
← N 69.069544°
W 24.694519°		 ← 109.09 m → N 69.069544°
W 24.691773°		 →
↑
109.07 m
↓
↑
109.07 m
↓
N 69.068563°
W 24.694519°		 ← 109.09 m →
11 898 m²		 N 69.068563°
W 24.691773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431407928466797 y=0.231197357177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431407928466797 × 217)
    floor (0.431407928466797 × 131072)
    floor (56545.5)     		tx = 56545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231197357177734 × 217)
    floor (0.231197357177734 × 131072)
    floor (30303.5)     		ty = 30303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56545 / 30303 ti = "17/56545/30303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56545/30303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56545 ÷ 217
    56545 ÷ 131072     		x = 0.431404113769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30303 ÷ 217
    30303 ÷ 131072     		y = 0.231193542480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431404113769531 × 2 - 1) × π
    -0.137191772460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.43100066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231193542480469 × 2 - 1) × π
    0.537612915039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.68896078431344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43100066} λ = -0.43100066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68896078431344))-π/2
    2×atan(5.41385162119218)-π/2
    2×1.38814364455542-π/2
    2.77628728911085-1.57079632675     		φ = 1.20549096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43100066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.694519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20549096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.069544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56545 KachelY 30303 -0.43100066 1.20549096 -24.694519 69.069544
    Oben rechts KachelX + 1 56546 KachelY 30303 -0.43095273 1.20549096 -24.691773 69.069544
    Unten links KachelX 56545 KachelY + 1 30304 -0.43100066 1.20547384 -24.694519 69.068563
    Unten rechts KachelX + 1 56546 KachelY + 1 30304 -0.43095273 1.20547384 -24.691773 69.068563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20549096-1.20547384) × R
    1.71199999998706e-05 × 6371000     		dl = 109.071519999175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20549096-1.20547384) × R
    1.71199999998706e-05 × 6371000     		dr = 109.071519999175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43100066--0.43095273) × cos(1.20549096) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.357234528208901 × 6371000     		do = 109.085860719903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43100066--0.43095273) × cos(1.20547384) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.357250518488506 × 6371000     		du = 109.090743544143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20549096)-sin(1.20547384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357234528208901-0.357250518488506)×R²
    abs(-0.43095273--0.43100066)×1.59902796050271e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.59902796050271e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.59902796050271e-05×40589641000000     		ar = 11898.4269279818m²