Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56545 / 14053
↖ ↑ ↗
← N 80.310416°
W 24.694519°		 ← 51.40 m → N 80.310416°
W 24.691773°		 →
↑
51.35 m
↓
↑
51.35 m
↓
N 80.309955°
W 24.694519°		 ← 51.40 m →
2 639 m²		 N 80.309955°
W 24.691773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431407928466797 y=0.107219696044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431407928466797 × 217)
    floor (0.431407928466797 × 131072)
    floor (56545.5)     		tx = 56545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107219696044922 × 217)
    floor (0.107219696044922 × 131072)
    floor (14053.5)     		ty = 14053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56545 / 14053 ti = "17/56545/14053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56545/14053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56545 ÷ 217
    56545 ÷ 131072     		x = 0.431404113769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14053 ÷ 217
    14053 ÷ 131072     		y = 0.107215881347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431404113769531 × 2 - 1) × π
    -0.137191772460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.43100066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107215881347656 × 2 - 1) × π
    0.785568237304688 × 3.1415926535     		Φ = 2.46793540313935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43100066} λ = -0.43100066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46793540313935))-π/2
    2×atan(11.7980634446054)-π/2
    2×1.48623876016526-π/2
    2.97247752033052-1.57079632675     		φ = 1.40168119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43100066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.694519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40168119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.310416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56545 KachelY 14053 -0.43100066 1.40168119 -24.694519 80.310416
    Oben rechts KachelX + 1 56546 KachelY 14053 -0.43095273 1.40168119 -24.691773 80.310416
    Unten links KachelX 56545 KachelY + 1 14054 -0.43100066 1.40167313 -24.694519 80.309955
    Unten rechts KachelX + 1 56546 KachelY + 1 14054 -0.43095273 1.40167313 -24.691773 80.309955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40168119-1.40167313) × R
    8.0599999998654e-06 × 6371000     		dl = 51.3502599991424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40168119-1.40167313) × R
    8.0599999998654e-06 × 6371000     		dr = 51.3502599991424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43100066--0.43095273) × cos(1.40168119) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.168310175251617 × 6371000     		do = 51.3955367844614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43100066--0.43095273) × cos(1.40167313) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.168318120262869 × 6371000     		du = 51.3979628892257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40168119)-sin(1.40167313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168310175251617-0.168318120262869)×R²
    abs(-0.43095273--0.43100066)×7.94501125203628e-06×R²
    4.79299999999738e-05×7.94501125203628e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×7.94501125203628e-06×40589641000000     		ar = 2639.23646729724m²