Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56544 / 30305
↖ ↑ ↗
← N 69.067582°
W 24.697266°		 ← 109.12 m → N 69.067582°
W 24.694519°		 →
↑
109.14 m
↓
↑
109.14 m
↓
N 69.066600°
W 24.697266°		 ← 109.12 m →
11 909 m²		 N 69.066600°
W 24.694519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431400299072266 y=0.231212615966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431400299072266 × 217)
    floor (0.431400299072266 × 131072)
    floor (56544.5)     		tx = 56544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231212615966797 × 217)
    floor (0.231212615966797 × 131072)
    floor (30305.5)     		ty = 30305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56544 / 30305 ti = "17/56544/30305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56544/30305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56544 ÷ 217
    56544 ÷ 131072     		x = 0.431396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30305 ÷ 217
    30305 ÷ 131072     		y = 0.231208801269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431396484375 × 2 - 1) × π
    -0.13720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43104860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231208801269531 × 2 - 1) × π
    0.537582397460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.6888649105142
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43104860} λ = -0.43104860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6888649105142))-π/2
    2×atan(5.41333259954942)-π/2
    2×1.38812651907305-π/2
    2.7762530381461-1.57079632675     		φ = 1.20545671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43104860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.697266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20545671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.067582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56544 KachelY 30305 -0.43104860 1.20545671 -24.697266 69.067582
    Oben rechts KachelX + 1 56545 KachelY 30305 -0.43100066 1.20545671 -24.694519 69.067582
    Unten links KachelX 56544 KachelY + 1 30306 -0.43104860 1.20543958 -24.697266 69.066600
    Unten rechts KachelX + 1 56545 KachelY + 1 30306 -0.43100066 1.20543958 -24.694519 69.066600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20545671-1.20543958) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dl = 109.135230000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20545671-1.20543958) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dr = 109.135230000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43104860--0.43100066) × cos(1.20545671) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.357266518003428 × 6371000     		do = 109.118390638475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43104860--0.43100066) × cos(1.20543958) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.357282517413515 × 6371000     		du = 109.12327727014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20545671)-sin(1.20543958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357266518003428-0.357282517413515)×R²
    abs(-0.43100066--0.43104860)×1.59994100866756e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.59994100866756e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.59994100866756e-05×40589641000000     		ar = 11908.9273118354m²