Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56540 / 16022
↖ ↑ ↗
← N 79.356547°
W 24.708252°		 ← 56.41 m → N 79.356547°
W 24.705505°		 →
↑
56.45 m
↓
↑
56.45 m
↓
N 79.356039°
W 24.708252°		 ← 56.41 m →
3 184 m²		 N 79.356039°
W 24.705505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431369781494141 y=0.122241973876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431369781494141 × 217)
    floor (0.431369781494141 × 131072)
    floor (56540.5)     		tx = 56540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122241973876953 × 217)
    floor (0.122241973876953 × 131072)
    floor (16022.5)     		ty = 16022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56540 / 16022 ti = "17/56540/16022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56540/16022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56540 ÷ 217
    56540 ÷ 131072     		x = 0.431365966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16022 ÷ 217
    16022 ÷ 131072     		y = 0.122238159179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431365966796875 × 2 - 1) × π
    -0.13726806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43124035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122238159179688 × 2 - 1) × π
    0.755523681640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.37354764778746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43124035} λ = -0.43124035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37354764778746))-π/2
    2×atan(10.7354102615022)-π/2
    2×1.4779146713062-π/2
    2.95582934261239-1.57079632675     		φ = 1.38503302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43124035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.708252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38503302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.356547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56540 KachelY 16022 -0.43124035 1.38503302 -24.708252 79.356547
    Oben rechts KachelX + 1 56541 KachelY 16022 -0.43119241 1.38503302 -24.705505 79.356547
    Unten links KachelX 56540 KachelY + 1 16023 -0.43124035 1.38502416 -24.708252 79.356039
    Unten rechts KachelX + 1 56541 KachelY + 1 16023 -0.43119241 1.38502416 -24.705505 79.356039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38503302-1.38502416) × R
    8.86000000011045e-06 × 6371000     		dl = 56.4470600007037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38503302-1.38502416) × R
    8.86000000011045e-06 × 6371000     		dr = 56.4470600007037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43124035--0.43119241) × cos(1.38503302) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184696761787191 × 6371000     		do = 56.4111451444194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43124035--0.43119241) × cos(1.38502416) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184705469348573 × 6371000     		du = 56.4138046577983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38503302)-sin(1.38502416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184696761787191-0.184705469348573)×R²
    abs(-0.43119241--0.43124035)×8.70756138265927e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.70756138265927e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.70756138265927e-06×40589641000000     		ar = 3184.3183556282m²