Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56539 / 9163
↖ ↑ ↗
← N 78.122063°
E130.578003°		 ← 125.73 m → N 78.122063°
E130.583496°		 →
↑
125.70 m
↓
↑
125.70 m
↓
N 78.120932°
E130.578003°		 ← 125.74 m →
15 805 m²		 N 78.120932°
E130.583496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.862724304199219 y=0.139823913574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.862724304199219 × 216)
    floor (0.862724304199219 × 65536)
    floor (56539.5)     		tx = 56539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139823913574219 × 216)
    floor (0.139823913574219 × 65536)
    floor (9163.5)     		ty = 9163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56539 / 9163 ti = "16/56539/9163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56539/9163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56539 ÷ 216
    56539 ÷ 65536     		x = 0.862716674804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9163 ÷ 216
    9163 ÷ 65536     		y = 0.139816284179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.862716674804688 × 2 - 1) × π
    0.725433349609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.27901608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139816284179688 × 2 - 1) × π
    0.720367431640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26310103106285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.27901608} λ = 2.27901608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26310103106285))-π/2
    2×atan(9.61285274899358)-π/2
    2×1.46714176809524-π/2
    2.93428353619049-1.57079632675     		φ = 1.36348721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.27901608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 130.578003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36348721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.122063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56539 KachelY 9163 2.27901608 1.36348721 130.578003 78.122063
    Oben rechts KachelX + 1 56540 KachelY 9163 2.27911196 1.36348721 130.583496 78.122063
    Unten links KachelX 56539 KachelY + 1 9164 2.27901608 1.36346748 130.578003 78.120932
    Unten rechts KachelX + 1 56540 KachelY + 1 9164 2.27911196 1.36346748 130.583496 78.120932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36348721-1.36346748) × R
    1.97299999999956e-05 × 6371000     		dl = 125.699829999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36348721-1.36346748) × R
    1.97299999999956e-05 × 6371000     		dr = 125.699829999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.27901608-2.27911196) × cos(1.36348721) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.205827381346405 × 6371000     		do = 125.729960519893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.27901608-2.27911196) × cos(1.36346748) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.205846688853785 × 6371000     		du = 125.741754539352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36348721)-sin(1.36346748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205827381346405-0.205846688853785)×R²
    abs(2.27911196-2.27901608)×1.93075073804116e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.93075073804116e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.93075073804116e-05×40589641000000     		ar = 15804.9759168261m²