Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56539 / 16233
↖ ↑ ↗
← N 79.248975°
W 24.710999°		 ← 56.97 m → N 79.248975°
W 24.708252°		 →
↑
56.96 m
↓
↑
56.96 m
↓
N 79.248463°
W 24.710999°		 ← 56.98 m →
3 245 m²		 N 79.248463°
W 24.708252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431362152099609 y=0.123851776123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431362152099609 × 217)
    floor (0.431362152099609 × 131072)
    floor (56539.5)     		tx = 56539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123851776123047 × 217)
    floor (0.123851776123047 × 131072)
    floor (16233.5)     		ty = 16233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56539 / 16233 ti = "17/56539/16233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56539/16233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56539 ÷ 217
    56539 ÷ 131072     		x = 0.431358337402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16233 ÷ 217
    16233 ÷ 131072     		y = 0.123847961425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431358337402344 × 2 - 1) × π
    -0.137283325195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.43128829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123847961425781 × 2 - 1) × π
    0.752304077148438 × 3.1415926535     		Φ = 2.36343296196763
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43128829} λ = -0.43128829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36343296196763))-π/2
    2×atan(10.6273722658356)-π/2
    2×1.47697593889052-π/2
    2.95395187778104-1.57079632675     		φ = 1.38315555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43128829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.710999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38315555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.248975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56539 KachelY 16233 -0.43128829 1.38315555 -24.710999 79.248975
    Oben rechts KachelX + 1 56540 KachelY 16233 -0.43124035 1.38315555 -24.708252 79.248975
    Unten links KachelX 56539 KachelY + 1 16234 -0.43128829 1.38314661 -24.710999 79.248463
    Unten rechts KachelX + 1 56540 KachelY + 1 16234 -0.43124035 1.38314661 -24.708252 79.248463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38315555-1.38314661) × R
    8.93999999984629e-06 × 6371000     		dl = 56.9567399990207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38315555-1.38314661) × R
    8.93999999984629e-06 × 6371000     		dr = 56.9567399990207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43128829--0.43124035) × cos(1.38315555) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.186541604358823 × 6371000     		do = 56.9746075521093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43128829--0.43124035) × cos(1.38314661) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.186550387428103 × 6371000     		du = 56.9772901275438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38315555)-sin(1.38314661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186541604358823-0.186550387428103)×R²
    abs(-0.43124035--0.43128829)×8.78306928042694e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.78306928042694e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.78306928042694e-06×40589641000000     		ar = 3245.16430445995m²