Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56538 / 87335
↖ ↑ ↗
← S 51.246444°
W 24.713745°		 ← 191.15 m → S 51.246444°
W 24.710999°		 →
↑
191.13 m
↓
↑
191.13 m
↓
S 51.248163°
W 24.713745°		 ← 191.14 m →
36 533 m²		 S 51.248163°
W 24.710999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431354522705078 y=0.666316986083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431354522705078 × 217)
    floor (0.431354522705078 × 131072)
    floor (56538.5)     		tx = 56538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666316986083984 × 217)
    floor (0.666316986083984 × 131072)
    floor (87335.5)     		ty = 87335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56538 / 87335 ti = "17/56538/87335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56538/87335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56538 ÷ 217
    56538 ÷ 131072     		x = 0.431350708007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87335 ÷ 217
    87335 ÷ 131072     		y = 0.666313171386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431350708007812 × 2 - 1) × π
    -0.137298583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43133622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666313171386719 × 2 - 1) × π
    -0.332626342773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.0449764748176
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43133622} λ = -0.43133622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0449764748176))-π/2
    2×atan(0.351700093089585)-π/2
    2×0.33818857533943-π/2
    0.67637715067886-1.57079632675     		φ = -0.89441918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43133622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.713745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89441918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.246444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56538 KachelY 87335 -0.43133622 -0.89441918 -24.713745 -51.246444
    Oben rechts KachelX + 1 56539 KachelY 87335 -0.43128829 -0.89441918 -24.710999 -51.246444
    Unten links KachelX 56538 KachelY + 1 87336 -0.43133622 -0.89444918 -24.713745 -51.248163
    Unten rechts KachelX + 1 56539 KachelY + 1 87336 -0.43128829 -0.89444918 -24.710999 -51.248163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89441918--0.89444918) × R
    2.99999999999745e-05 × 6371000     		dl = 191.129999999837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89441918--0.89444918) × R
    2.99999999999745e-05 × 6371000     		dr = 191.129999999837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43133622--0.43128829) × cos(-0.89441918) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.625971871894173 × 6371000     		do = 191.1480415244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43133622--0.43128829) × cos(-0.89444918) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.625948476243417 × 6371000     		du = 191.140897380992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89441918)-sin(-0.89444918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625971871894173-0.625948476243417)×R²
    abs(-0.43128829--0.43133622)×2.33956507562638e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.33956507562638e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.33956507562638e-05×40589641000000     		ar = 36533.4424492801m²