Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56536 / 87329
↖ ↑ ↗
← S 51.236127°
W 24.719238°		 ← 191.23 m → S 51.236127°
W 24.716492°		 →
↑
191.26 m
↓
↑
191.26 m
↓
S 51.237847°
W 24.719238°		 ← 191.22 m →
36 574 m²		 S 51.237847°
W 24.716492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431339263916016 y=0.666271209716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431339263916016 × 217)
    floor (0.431339263916016 × 131072)
    floor (56536.5)     		tx = 56536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666271209716797 × 217)
    floor (0.666271209716797 × 131072)
    floor (87329.5)     		ty = 87329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56536 / 87329 ti = "17/56536/87329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56536/87329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56536 ÷ 217
    56536 ÷ 131072     		x = 0.43133544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87329 ÷ 217
    87329 ÷ 131072     		y = 0.666267395019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43133544921875 × 2 - 1) × π
    -0.1373291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43143210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666267395019531 × 2 - 1) × π
    -0.332534790039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.04468885341988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43143210} λ = -0.43143210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04468885341988))-π/2
    2×atan(0.351801264110715)-π/2
    2×0.338278606888417-π/2
    0.676557213776834-1.57079632675     		φ = -0.89423911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43143210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.719238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89423911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.236127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56536 KachelY 87329 -0.43143210 -0.89423911 -24.719238 -51.236127
    Oben rechts KachelX + 1 56537 KachelY 87329 -0.43138416 -0.89423911 -24.716492 -51.236127
    Unten links KachelX 56536 KachelY + 1 87330 -0.43143210 -0.89426913 -24.719238 -51.237847
    Unten rechts KachelX + 1 56537 KachelY + 1 87330 -0.43138416 -0.89426913 -24.716492 -51.237847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89423911--0.89426913) × R
    3.0019999999964e-05 × 6371000     		dl = 191.25741999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89423911--0.89426913) × R
    3.0019999999964e-05 × 6371000     		dr = 191.25741999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43143210--0.43138416) × cos(-0.89423911) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.626112288548411 × 6371000     		do = 191.230809052866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43143210--0.43138416) × cos(-0.89426913) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.626088880684499 × 6371000     		du = 191.22365968871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89423911)-sin(-0.89426913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626112288548411-0.626088880684499)×R²
    abs(-0.43138416--0.43143210)×2.34078639114177e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34078639114177e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34078639114177e-05×40589641000000     		ar = 36573.6274821084m²