Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56535 / 16009
↖ ↑ ↗
← N 79.363139°
W 24.721985°		 ← 56.36 m → N 79.363139°
W 24.719238°		 →
↑
56.38 m
↓
↑
56.38 m
↓
N 79.362632°
W 24.721985°		 ← 56.37 m →
3 178 m²		 N 79.362632°
W 24.719238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431331634521484 y=0.122142791748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431331634521484 × 217)
    floor (0.431331634521484 × 131072)
    floor (56535.5)     		tx = 56535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122142791748047 × 217)
    floor (0.122142791748047 × 131072)
    floor (16009.5)     		ty = 16009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56535 / 16009 ti = "17/56535/16009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56535/16009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56535 ÷ 217
    56535 ÷ 131072     		x = 0.431327819824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16009 ÷ 217
    16009 ÷ 131072     		y = 0.122138977050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431327819824219 × 2 - 1) × π
    -0.137344360351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.43148003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122138977050781 × 2 - 1) × π
    0.755722045898438 × 3.1415926535     		Φ = 2.37417082748252
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43148003} λ = -0.43148003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37417082748252))-π/2
    2×atan(10.7421024361924)-π/2
    2×1.47797220332342-π/2
    2.95594440664684-1.57079632675     		φ = 1.38514808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43148003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.721985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38514808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.363139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56535 KachelY 16009 -0.43148003 1.38514808 -24.721985 79.363139
    Oben rechts KachelX + 1 56536 KachelY 16009 -0.43143210 1.38514808 -24.719238 79.363139
    Unten links KachelX 56535 KachelY + 1 16010 -0.43148003 1.38513923 -24.721985 79.362632
    Unten rechts KachelX + 1 56536 KachelY + 1 16010 -0.43143210 1.38513923 -24.719238 79.362632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38514808-1.38513923) × R
    8.84999999994918e-06 × 6371000     		dl = 56.3833499996762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38514808-1.38513923) × R
    8.84999999994918e-06 × 6371000     		dr = 56.3833499996762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43148003--0.43143210) × cos(1.38514808) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184583680108109 × 6371000     		do = 56.3648472627173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43148003--0.43143210) × cos(1.38513923) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184592378029572 × 6371000     		du = 56.3675032776721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38514808)-sin(1.38513923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184583680108109-0.184592378029572)×R²
    abs(-0.43143210--0.43148003)×8.69792146335202e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.69792146335202e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.69792146335202e-06×40589641000000     		ar = 3178.11378861787m²