Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56533 / 15941
↖ ↑ ↗
← N 79.397558°
W 24.727478°		 ← 56.20 m → N 79.397558°
W 24.724731°		 →
↑
56.19 m
↓
↑
56.19 m
↓
N 79.397053°
W 24.727478°		 ← 56.20 m →
3 158 m²		 N 79.397053°
W 24.724731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431316375732422 y=0.121623992919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431316375732422 × 217)
    floor (0.431316375732422 × 131072)
    floor (56533.5)     		tx = 56533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121623992919922 × 217)
    floor (0.121623992919922 × 131072)
    floor (15941.5)     		ty = 15941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56533 / 15941 ti = "17/56533/15941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56533/15941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56533 ÷ 217
    56533 ÷ 131072     		x = 0.431312561035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15941 ÷ 217
    15941 ÷ 131072     		y = 0.121620178222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431312561035156 × 2 - 1) × π
    -0.137374877929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.43157591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121620178222656 × 2 - 1) × π
    0.756759643554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.37743053665668
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43157591} λ = -0.43157591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37743053665668))-π/2
    2×atan(10.7771756993157)-π/2
    2×1.47827256647012-π/2
    2.95654513294024-1.57079632675     		φ = 1.38574881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43157591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.727478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38574881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.397558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56533 KachelY 15941 -0.43157591 1.38574881 -24.727478 79.397558
    Oben rechts KachelX + 1 56534 KachelY 15941 -0.43152797 1.38574881 -24.724731 79.397558
    Unten links KachelX 56533 KachelY + 1 15942 -0.43157591 1.38573999 -24.727478 79.397053
    Unten rechts KachelX + 1 56534 KachelY + 1 15942 -0.43152797 1.38573999 -24.724731 79.397053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38574881-1.38573999) × R
    8.81999999990946e-06 × 6371000     		dl = 56.1922199994231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38574881-1.38573999) × R
    8.81999999990946e-06 × 6371000     		dr = 56.1922199994231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43157591--0.43152797) × cos(1.38574881) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.18399323930058 × 6371000     		do = 56.1962712684049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43157591--0.43152797) × cos(1.38573999) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.184001908714052 × 6371000     		du = 56.1989191304301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38574881)-sin(1.38573999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18399323930058-0.184001908714052)×R²
    abs(-0.43152797--0.43157591)×8.66941347227312e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.66941347227312e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.66941347227312e-06×40589641000000     		ar = 3157.86763287545m²