Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56532 / 87332
↖ ↑ ↗
← S 51.241286°
W 24.730224°		 ← 191.17 m → S 51.241286°
W 24.727478°		 →
↑
191.19 m
↓
↑
191.19 m
↓
S 51.243005°
W 24.730224°		 ← 191.16 m →
36 550 m²		 S 51.243005°
W 24.727478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431308746337891 y=0.666294097900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431308746337891 × 217)
    floor (0.431308746337891 × 131072)
    floor (56532.5)     		tx = 56532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666294097900391 × 217)
    floor (0.666294097900391 × 131072)
    floor (87332.5)     		ty = 87332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56532 / 87332 ti = "17/56532/87332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56532/87332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56532 ÷ 217
    56532 ÷ 131072     		x = 0.431304931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87332 ÷ 217
    87332 ÷ 131072     		y = 0.666290283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431304931640625 × 2 - 1) × π
    -0.13739013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43162384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666290283203125 × 2 - 1) × π
    -0.33258056640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.04483266411874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43162384} λ = -0.43162384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04483266411874))-π/2
    2×atan(0.351750674962781)-π/2
    2×0.338233588589843-π/2
    0.676467177179686-1.57079632675     		φ = -0.89432915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43162384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.730224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89432915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.241286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56532 KachelY 87332 -0.43162384 -0.89432915 -24.730224 -51.241286
    Oben rechts KachelX + 1 56533 KachelY 87332 -0.43157591 -0.89432915 -24.727478 -51.241286
    Unten links KachelX 56532 KachelY + 1 87333 -0.43162384 -0.89435916 -24.730224 -51.243005
    Unten rechts KachelX + 1 56533 KachelY + 1 87333 -0.43157591 -0.89435916 -24.727478 -51.243005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89432915--0.89435916) × R
    3.00100000000247e-05 × 6371000     		dl = 191.193710000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89432915--0.89435916) × R
    3.00100000000247e-05 × 6371000     		dr = 191.193710000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43162384--0.43157591) × cos(-0.89432915) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.626042078859788 × 6371000     		do = 191.169480065941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43162384--0.43157591) × cos(-0.89435916) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.626018677101702 × 6371000     		du = 191.162334057586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89432915)-sin(-0.89435916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626042078859788-0.626018677101702)×R²
    abs(-0.43157591--0.43162384)×2.34017580863499e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34017580863499e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34017580863499e-05×40589641000000     		ar = 36549.7189993878m²