Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56531 / 44722
↖ ↑ ↗
← N 49.521642°
W 24.732971°		 ← 198.27 m → N 49.521642°
W 24.730224°		 →
↑
198.27 m
↓
↑
198.27 m
↓
N 49.519859°
W 24.732971°		 ← 198.28 m →
39 311 m²		 N 49.519859°
W 24.730224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431301116943359 y=0.341205596923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431301116943359 × 217)
    floor (0.431301116943359 × 131072)
    floor (56531.5)     		tx = 56531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341205596923828 × 217)
    floor (0.341205596923828 × 131072)
    floor (44722.5)     		ty = 44722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56531 / 44722 ti = "17/56531/44722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56531/44722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56531 ÷ 217
    56531 ÷ 131072     		x = 0.431297302246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44722 ÷ 217
    44722 ÷ 131072     		y = 0.341201782226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431297302246094 × 2 - 1) × π
    -0.137405395507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.43167178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341201782226562 × 2 - 1) × π
    0.317596435546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.997758628691849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43167178} λ = -0.43167178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.997758628691849))-π/2
    2×atan(2.71219597244062)-π/2
    2×1.21755601991995-π/2
    2.4351120398399-1.57079632675     		φ = 0.86431571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43167178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.732971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86431571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.521642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56531 KachelY 44722 -0.43167178 0.86431571 -24.732971 49.521642
    Oben rechts KachelX + 1 56532 KachelY 44722 -0.43162384 0.86431571 -24.730224 49.521642
    Unten links KachelX 56531 KachelY + 1 44723 -0.43167178 0.86428459 -24.732971 49.519859
    Unten rechts KachelX + 1 56532 KachelY + 1 44723 -0.43162384 0.86428459 -24.730224 49.519859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86431571-0.86428459) × R
    3.11199999999401e-05 × 6371000     		dl = 198.265519999618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86431571-0.86428459) × R
    3.11199999999401e-05 × 6371000     		dr = 198.265519999618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43167178--0.43162384) × cos(0.86431571) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.649160773660116 × 6371000     		do = 198.270409674213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43167178--0.43162384) × cos(0.86428459) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.649184444811971 × 6371000     		du = 198.277639453285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86431571)-sin(0.86428459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649160773660116-0.649184444811971)×R²
    abs(-0.43162384--0.43167178)×2.3671151855531e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3671151855531e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3671151855531e-05×40589641000000     		ar = 39310.9025857706m²