Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56530 / 87333
↖ ↑ ↗
← S 51.243005°
W 24.735718°		 ← 191.20 m → S 51.243005°
W 24.732971°		 →
↑
191.19 m
↓
↑
191.19 m
↓
S 51.244725°
W 24.735718°		 ← 191.20 m →
36 556 m²		 S 51.244725°
W 24.732971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431293487548828 y=0.666301727294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431293487548828 × 217)
    floor (0.431293487548828 × 131072)
    floor (56530.5)     		tx = 56530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666301727294922 × 217)
    floor (0.666301727294922 × 131072)
    floor (87333.5)     		ty = 87333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56530 / 87333 ti = "17/56530/87333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56530/87333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56530 ÷ 217
    56530 ÷ 131072     		x = 0.431289672851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87333 ÷ 217
    87333 ÷ 131072     		y = 0.666297912597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431289672851562 × 2 - 1) × π
    -0.137420654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43171972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666297912597656 × 2 - 1) × π
    -0.332595825195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.04488060101836
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43171972} λ = -0.43171972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04488060101836))-π/2
    2×atan(0.35173381353013)-π/2
    2×0.338218583612142-π/2
    0.676437167224284-1.57079632675     		φ = -0.89435916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43171972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.735718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89435916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.243005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56530 KachelY 87333 -0.43171972 -0.89435916 -24.735718 -51.243005
    Oben rechts KachelX + 1 56531 KachelY 87333 -0.43167178 -0.89435916 -24.732971 -51.243005
    Unten links KachelX 56530 KachelY + 1 87334 -0.43171972 -0.89438917 -24.735718 -51.244725
    Unten rechts KachelX + 1 56531 KachelY + 1 87334 -0.43167178 -0.89438917 -24.732971 -51.244725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89435916--0.89438917) × R
    3.00099999999137e-05 × 6371000     		dl = 191.19370999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89435916--0.89438917) × R
    3.00099999999137e-05 × 6371000     		dr = 191.19370999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43171972--0.43167178) × cos(-0.89435916) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.626018677101702 × 6371000     		do = 191.202217707483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43171972--0.43167178) × cos(-0.89438917) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.625995274779823 × 6371000     		du = 191.195070036006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89435916)-sin(-0.89438917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626018677101702-0.625995274779823)×R²
    abs(-0.43167178--0.43171972)×2.34023218786961e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34023218786961e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34023218786961e-05×40589641000000     		ar = 36555.9780713221m²