Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56530 / 44726
↖ ↑ ↗
← N 49.514510°
W 24.735718°		 ← 198.30 m → N 49.514510°
W 24.732971°		 →
↑
198.27 m
↓
↑
198.27 m
↓
N 49.512727°
W 24.735718°		 ← 198.31 m →
39 317 m²		 N 49.512727°
W 24.732971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431293487548828 y=0.341236114501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431293487548828 × 217)
    floor (0.431293487548828 × 131072)
    floor (56530.5)     		tx = 56530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341236114501953 × 217)
    floor (0.341236114501953 × 131072)
    floor (44726.5)     		ty = 44726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56530 / 44726 ti = "17/56530/44726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56530/44726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56530 ÷ 217
    56530 ÷ 131072     		x = 0.431289672851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44726 ÷ 217
    44726 ÷ 131072     		y = 0.341232299804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431289672851562 × 2 - 1) × π
    -0.137420654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43171972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341232299804688 × 2 - 1) × π
    0.317535400390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.997566881093369
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43171972} λ = -0.43171972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.997566881093369))-π/2
    2×atan(2.71167596523295)-π/2
    2×1.21749377787166-π/2
    2.43498755574332-1.57079632675     		φ = 0.86419123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43171972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.735718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86419123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.514510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56530 KachelY 44726 -0.43171972 0.86419123 -24.735718 49.514510
    Oben rechts KachelX + 1 56531 KachelY 44726 -0.43167178 0.86419123 -24.732971 49.514510
    Unten links KachelX 56530 KachelY + 1 44727 -0.43171972 0.86416011 -24.735718 49.512727
    Unten rechts KachelX + 1 56531 KachelY + 1 44727 -0.43167178 0.86416011 -24.732971 49.512727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86419123-0.86416011) × R
    3.11199999999401e-05 × 6371000     		dl = 198.265519999618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86419123-0.86416011) × R
    3.11199999999401e-05 × 6371000     		dr = 198.265519999618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43171972--0.43167178) × cos(0.86419123) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.649255454495213 × 6371000     		do = 198.299327638107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43171972--0.43167178) × cos(0.86416011) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.649279123132109 × 6371000     		du = 198.306556649045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86419123)-sin(0.86416011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649255454495213-0.649279123132109)×R²
    abs(-0.43167178--0.43171972)×2.36686368958461e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36686368958461e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36686368958461e-05×40589641000000     		ar = 39316.6359447315m²