Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56530 / 16234
↖ ↑ ↗
← N 79.248463°
W 24.735718°		 ← 56.98 m → N 79.248463°
W 24.732971°		 →
↑
56.96 m
↓
↑
56.96 m
↓
N 79.247951°
W 24.735718°		 ← 56.98 m →
3 245 m²		 N 79.247951°
W 24.732971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431293487548828 y=0.123859405517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431293487548828 × 217)
    floor (0.431293487548828 × 131072)
    floor (56530.5)     		tx = 56530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123859405517578 × 217)
    floor (0.123859405517578 × 131072)
    floor (16234.5)     		ty = 16234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56530 / 16234 ti = "17/56530/16234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56530/16234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56530 ÷ 217
    56530 ÷ 131072     		x = 0.431289672851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16234 ÷ 217
    16234 ÷ 131072     		y = 0.123855590820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431289672851562 × 2 - 1) × π
    -0.137420654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43171972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123855590820312 × 2 - 1) × π
    0.752288818359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36338502506801
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43171972} λ = -0.43171972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36338502506801))-π/2
    2×atan(10.6268628347685)-π/2
    2×1.47697146767218-π/2
    2.95394293534435-1.57079632675     		φ = 1.38314661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43171972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.735718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38314661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.248463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56530 KachelY 16234 -0.43171972 1.38314661 -24.735718 79.248463
    Oben rechts KachelX + 1 56531 KachelY 16234 -0.43167178 1.38314661 -24.732971 79.248463
    Unten links KachelX 56530 KachelY + 1 16235 -0.43171972 1.38313767 -24.735718 79.247951
    Unten rechts KachelX + 1 56531 KachelY + 1 16235 -0.43167178 1.38313767 -24.732971 79.247951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38314661-1.38313767) × R
    8.94000000006834e-06 × 6371000     		dl = 56.9567400004354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38314661-1.38313767) × R
    8.94000000006834e-06 × 6371000     		dr = 56.9567400004354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43171972--0.43167178) × cos(1.38314661) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186550387428103 × 6371000     		do = 56.9772901274778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43171972--0.43167178) × cos(1.38313767) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186559170482474 × 6371000     		du = 56.9799726983585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38314661)-sin(1.38313767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186550387428103-0.186559170482474)×R²
    abs(-0.43167178--0.43171972)×8.78305437088112e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.78305437088112e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.78305437088112e-06×40589641000000     		ar = 3245.31709498212m²