Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5653 / 11859
↖ ↑ ↗
← S 62.461566°
W 55.788575°		 ← 1 129.63 m → S 62.461566°
W 55.766602°		 →
↑
1 129.45 m
↓
↑
1 129.45 m
↓
S 62.471724°
W 55.788575°		 ← 1 129.25 m →
1 275 649 m²		 S 62.471724°
W 55.766602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345062255859375 y=0.723846435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345062255859375 × 214)
    floor (0.345062255859375 × 16384)
    floor (5653.5)     		tx = 5653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723846435546875 × 214)
    floor (0.723846435546875 × 16384)
    floor (11859.5)     		ty = 11859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5653 / 11859 ti = "14/5653/11859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5653/11859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5653 ÷ 214
    5653 ÷ 16384     		x = 0.34503173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11859 ÷ 214
    11859 ÷ 16384     		y = 0.72381591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34503173828125 × 2 - 1) × π
    -0.3099365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.97369431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72381591796875 × 2 - 1) × π
    -0.4476318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.40627688725397
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97369431} λ = -0.97369431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40627688725397))-π/2
    2×atan(0.245053950329149)-π/2
    2×0.240318167482842-π/2
    0.480636334965684-1.57079632675     		φ = -1.09015999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97369431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.788575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09015999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.461566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5653 KachelY 11859 -0.97369431 -1.09015999 -55.788575 -62.461566
    Oben rechts KachelX + 1 5654 KachelY 11859 -0.97331081 -1.09015999 -55.766602 -62.461566
    Unten links KachelX 5653 KachelY + 1 11860 -0.97369431 -1.09033727 -55.788575 -62.471724
    Unten rechts KachelX + 1 5654 KachelY + 1 11860 -0.97331081 -1.09033727 -55.766602 -62.471724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09015999--1.09033727) × R
    0.000177279999999946 × 6371000     		dl = 1129.45087999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09015999--1.09033727) × R
    0.000177279999999946 × 6371000     		dr = 1129.45087999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97369431--0.97331081) × cos(-1.09015999) × R
    0.000383499999999981 × 0.46234350951679 × 6371000     		do = 1129.63395641686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97369431--0.97331081) × cos(-1.09033727) × R
    0.000383499999999981 × 0.462186307917435 × 6371000     		du = 1129.24986912899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09015999)-sin(-1.09033727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46234350951679-0.462186307917435)×R²
    abs(-0.97331081--0.97369431)×0.000157201599355283×R²
    0.000383499999999981×0.000157201599355283×6371000²
    0.000383499999999981×0.000157201599355283×40589641000000     		ar = 1275649.16563114m²