Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56529 / 16018
↖ ↑ ↗
← N 79.358575°
W 24.738464°		 ← 56.39 m → N 79.358575°
W 24.735718°		 →
↑
56.38 m
↓
↑
56.38 m
↓
N 79.358068°
W 24.738464°		 ← 56.39 m →
3 179 m²		 N 79.358068°
W 24.735718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431285858154297 y=0.122211456298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431285858154297 × 217)
    floor (0.431285858154297 × 131072)
    floor (56529.5)     		tx = 56529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122211456298828 × 217)
    floor (0.122211456298828 × 131072)
    floor (16018.5)     		ty = 16018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56529 / 16018 ti = "17/56529/16018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56529/16018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56529 ÷ 217
    56529 ÷ 131072     		x = 0.431282043457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16018 ÷ 217
    16018 ÷ 131072     		y = 0.122207641601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431282043457031 × 2 - 1) × π
    -0.137435913085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.43176765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122207641601562 × 2 - 1) × π
    0.755584716796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.37373939538594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43176765} λ = -0.43176765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37373939538594))-π/2
    2×atan(10.7374689480063)-π/2
    2×1.47793237721847-π/2
    2.95586475443693-1.57079632675     		φ = 1.38506843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43176765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.738464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38506843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.358575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56529 KachelY 16018 -0.43176765 1.38506843 -24.738464 79.358575
    Oben rechts KachelX + 1 56530 KachelY 16018 -0.43171972 1.38506843 -24.735718 79.358575
    Unten links KachelX 56529 KachelY + 1 16019 -0.43176765 1.38505958 -24.738464 79.358068
    Unten rechts KachelX + 1 56530 KachelY + 1 16019 -0.43171972 1.38505958 -24.735718 79.358068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38506843-1.38505958) × R
    8.84999999994918e-06 × 6371000     		dl = 56.3833499996762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38506843-1.38505958) × R
    8.84999999994918e-06 × 6371000     		dr = 56.3833499996762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43176765--0.43171972) × cos(1.38506843) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184661960880744 × 6371000     		do = 56.3887512383591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43176765--0.43171972) × cos(1.38505958) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184670658672063 × 6371000     		du = 56.3914072135728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38506843)-sin(1.38505958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184661960880744-0.184670658672063)×R²
    abs(-0.43171972--0.43176765)×8.69779131920656e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.69779131920656e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.69779131920656e-06×40589641000000     		ar = 3179.46157353076m²