Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56528 / 29776
↖ ↑ ↗
← N 69.580564°
W 24.741211°		 ← 106.56 m → N 69.580564°
W 24.738464°		 →
↑
106.59 m
↓
↑
106.59 m
↓
N 69.579605°
W 24.741211°		 ← 106.56 m →
11 358 m²		 N 69.579605°
W 24.738464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431278228759766 y=0.227176666259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431278228759766 × 217)
    floor (0.431278228759766 × 131072)
    floor (56528.5)     		tx = 56528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227176666259766 × 217)
    floor (0.227176666259766 × 131072)
    floor (29776.5)     		ty = 29776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56528 / 29776 ti = "17/56528/29776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56528/29776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56528 ÷ 217
    56528 ÷ 131072     		x = 0.4312744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29776 ÷ 217
    29776 ÷ 131072     		y = 0.2271728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4312744140625 × 2 - 1) × π
    -0.137451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43181559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2271728515625 × 2 - 1) × π
    0.545654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71422353041321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43181559} λ = -0.43181559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71422353041321))-π/2
    2×atan(5.55236259746271)-π/2
    2×1.39260312755526-π/2
    2.78520625511051-1.57079632675     		φ = 1.21440993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43181559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.741211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21440993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.580564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56528 KachelY 29776 -0.43181559 1.21440993 -24.741211 69.580564
    Oben rechts KachelX + 1 56529 KachelY 29776 -0.43176765 1.21440993 -24.738464 69.580564
    Unten links KachelX 56528 KachelY + 1 29777 -0.43181559 1.21439320 -24.741211 69.579605
    Unten rechts KachelX + 1 56529 KachelY + 1 29777 -0.43176765 1.21439320 -24.738464 69.579605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21440993-1.21439320) × R
    1.67300000000203e-05 × 6371000     		dl = 106.58683000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21440993-1.21439320) × R
    1.67300000000203e-05 × 6371000     		dr = 106.58683000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43181559--0.43176765) × cos(1.21440993) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.348889980855207 × 6371000     		do = 106.559980581341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43181559--0.43176765) × cos(1.21439320) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.348905659554909 × 6371000     		du = 106.5647692598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21440993)-sin(1.21439320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348889980855207-0.348905659554909)×R²
    abs(-0.43176765--0.43181559)×1.56786997017599e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.56786997017599e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.56786997017599e-05×40589641000000     		ar = 11358.1457402745m²