Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56525 / 29775
↖ ↑ ↗
← N 69.581522°
W 24.749451°		 ← 106.53 m → N 69.581522°
W 24.746704°		 →
↑
106.52 m
↓
↑
106.52 m
↓
N 69.580564°
W 24.749451°		 ← 106.54 m →
11 348 m²		 N 69.580564°
W 24.746704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431255340576172 y=0.227169036865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431255340576172 × 217)
    floor (0.431255340576172 × 131072)
    floor (56525.5)     		tx = 56525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227169036865234 × 217)
    floor (0.227169036865234 × 131072)
    floor (29775.5)     		ty = 29775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56525 / 29775 ti = "17/56525/29775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56525/29775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56525 ÷ 217
    56525 ÷ 131072     		x = 0.431251525878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29775 ÷ 217
    29775 ÷ 131072     		y = 0.227165222167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431251525878906 × 2 - 1) × π
    -0.137496948242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.43195940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227165222167969 × 2 - 1) × π
    0.545669555664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.71427146731283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43195940} λ = -0.43195940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71427146731283))-π/2
    2×atan(5.55262876689082)-π/2
    2×1.39261148971945-π/2
    2.78522297943891-1.57079632675     		φ = 1.21442665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43195940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.749451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21442665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.581522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56525 KachelY 29775 -0.43195940 1.21442665 -24.749451 69.581522
    Oben rechts KachelX + 1 56526 KachelY 29775 -0.43191147 1.21442665 -24.746704 69.581522
    Unten links KachelX 56525 KachelY + 1 29776 -0.43195940 1.21440993 -24.749451 69.580564
    Unten rechts KachelX + 1 56526 KachelY + 1 29776 -0.43191147 1.21440993 -24.746704 69.580564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21442665-1.21440993) × R
    1.67200000000811e-05 × 6371000     		dl = 106.523120000517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21442665-1.21440993) × R
    1.67200000000811e-05 × 6371000     		dr = 106.523120000517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43195940--0.43191147) × cos(1.21442665) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.348874311429549 × 6371000     		do = 106.532967952921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43195940--0.43191147) × cos(1.21440993) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.348889980855207 × 6371000     		du = 106.537752800549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21442665)-sin(1.21440993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348874311429549-0.348889980855207)×R²
    abs(-0.43191147--0.43195940)×1.56694256583934e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.56694256583934e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.56694256583934e-05×40589641000000     		ar = 11348.4789779869m²