Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56524 / 87324
↖ ↑ ↗
← S 51.227528°
W 24.752197°		 ← 191.27 m → S 51.227528°
W 24.749451°		 →
↑
191.26 m
↓
↑
191.26 m
↓
S 51.229248°
W 24.752197°		 ← 191.26 m →
36 580 m²		 S 51.229248°
W 24.749451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431247711181641 y=0.666233062744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431247711181641 × 217)
    floor (0.431247711181641 × 131072)
    floor (56524.5)     		tx = 56524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666233062744141 × 217)
    floor (0.666233062744141 × 131072)
    floor (87324.5)     		ty = 87324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56524 / 87324 ti = "17/56524/87324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56524/87324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56524 ÷ 217
    56524 ÷ 131072     		x = 0.431243896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87324 ÷ 217
    87324 ÷ 131072     		y = 0.666229248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431243896484375 × 2 - 1) × π
    -0.13751220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43200734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666229248046875 × 2 - 1) × π
    -0.33245849609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.04444916892178
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43200734} λ = -0.43200734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04444916892178))-π/2
    2×atan(0.351885595526198)-π/2
    2×0.338353648604722-π/2
    0.676707297209443-1.57079632675     		φ = -0.89408903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43200734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.752197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89408903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.227528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56524 KachelY 87324 -0.43200734 -0.89408903 -24.752197 -51.227528
    Oben rechts KachelX + 1 56525 KachelY 87324 -0.43195940 -0.89408903 -24.749451 -51.227528
    Unten links KachelX 56524 KachelY + 1 87325 -0.43200734 -0.89411905 -24.752197 -51.229248
    Unten rechts KachelX + 1 56525 KachelY + 1 87325 -0.43195940 -0.89411905 -24.749451 -51.229248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89408903--0.89411905) × R
    3.0020000000075e-05 × 6371000     		dl = 191.257420000478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89408903--0.89411905) × R
    3.0020000000075e-05 × 6371000     		dr = 191.257420000478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43200734--0.43195940) × cos(-0.89408903) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.626229303810978 × 6371000     		do = 191.266548526249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43200734--0.43195940) × cos(-0.89411905) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.626205898768165 × 6371000     		du = 191.259400023728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89408903)-sin(-0.89411905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626229303810978-0.626205898768165)×R²
    abs(-0.43195940--0.43200734)×2.34050428133958e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34050428133958e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34050428133958e-05×40589641000000     		ar = 36580.4630040683m²