Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56522 / 30295
↖ ↑ ↗
← N 69.077393°
W 24.757690°		 ← 109.05 m → N 69.077393°
W 24.754944°		 →
↑
109.07 m
↓
↑
109.07 m
↓
N 69.076412°
W 24.757690°		 ← 109.05 m →
11 894 m²		 N 69.076412°
W 24.754944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431232452392578 y=0.231136322021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431232452392578 × 217)
    floor (0.431232452392578 × 131072)
    floor (56522.5)     		tx = 56522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231136322021484 × 217)
    floor (0.231136322021484 × 131072)
    floor (30295.5)     		ty = 30295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56522 / 30295 ti = "17/56522/30295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56522/30295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56522 ÷ 217
    56522 ÷ 131072     		x = 0.431228637695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30295 ÷ 217
    30295 ÷ 131072     		y = 0.231132507324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431228637695312 × 2 - 1) × π
    -0.137542724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43210321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231132507324219 × 2 - 1) × π
    0.537734985351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.6893442795104
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43210321} λ = -0.43210321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6893442795104))-π/2
    2×atan(5.41592820544056)-π/2
    2×1.38821213115133-π/2
    2.77642426230266-1.57079632675     		φ = 1.20562794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43210321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.757690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20562794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.077393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56522 KachelY 30295 -0.43210321 1.20562794 -24.757690 69.077393
    Oben rechts KachelX + 1 56523 KachelY 30295 -0.43205528 1.20562794 -24.754944 69.077393
    Unten links KachelX 56522 KachelY + 1 30296 -0.43210321 1.20561082 -24.757690 69.076412
    Unten rechts KachelX + 1 56523 KachelY + 1 30296 -0.43205528 1.20561082 -24.754944 69.076412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20562794-1.20561082) × R
    1.71200000000926e-05 × 6371000     		dl = 109.07152000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20562794-1.20561082) × R
    1.71200000000926e-05 × 6371000     		dr = 109.07152000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43210321--0.43205528) × cos(1.20562794) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.357106583521857 × 6371000     		do = 109.046791270666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43210321--0.43205528) × cos(1.20561082) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.357122574639081 × 6371000     		du = 109.051674350683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20562794)-sin(1.20561082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357106583521857-0.357122574639081)×R²
    abs(-0.43205528--0.43210321)×1.59911172237792e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59911172237792e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59911172237792e-05×40589641000000     		ar = 11894.1655777471m²