Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56522 / 29642
↖ ↑ ↗
← N 69.708584°
W 24.757690°		 ← 105.90 m → N 69.708584°
W 24.754944°		 →
↑
105.89 m
↓
↑
105.89 m
↓
N 69.707631°
W 24.757690°		 ← 105.90 m →
11 213 m²		 N 69.707631°
W 24.754944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431232452392578 y=0.226154327392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431232452392578 × 217)
    floor (0.431232452392578 × 131072)
    floor (56522.5)     		tx = 56522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226154327392578 × 217)
    floor (0.226154327392578 × 131072)
    floor (29642.5)     		ty = 29642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56522 / 29642 ti = "17/56522/29642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56522/29642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56522 ÷ 217
    56522 ÷ 131072     		x = 0.431228637695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29642 ÷ 217
    29642 ÷ 131072     		y = 0.226150512695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431228637695312 × 2 - 1) × π
    -0.137542724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43210321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226150512695312 × 2 - 1) × π
    0.547698974609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.7206470749623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43210321} λ = -0.43210321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7206470749623))-π/2
    2×atan(5.58814324221153)-π/2
    2×1.39372031573242-π/2
    2.78744063146483-1.57079632675     		φ = 1.21664430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43210321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.757690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21664430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.708584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56522 KachelY 29642 -0.43210321 1.21664430 -24.757690 69.708584
    Oben rechts KachelX + 1 56523 KachelY 29642 -0.43205528 1.21664430 -24.754944 69.708584
    Unten links KachelX 56522 KachelY + 1 29643 -0.43210321 1.21662768 -24.757690 69.707631
    Unten rechts KachelX + 1 56523 KachelY + 1 29643 -0.43205528 1.21662768 -24.754944 69.707631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21664430-1.21662768) × R
    1.66200000000227e-05 × 6371000     		dl = 105.886020000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21664430-1.21662768) × R
    1.66200000000227e-05 × 6371000     		dr = 105.886020000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43210321--0.43205528) × cos(1.21664430) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.346795141263788 × 6371000     		do = 105.898068330512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43210321--0.43205528) × cos(1.21662768) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.346810729793632 × 6371000     		du = 105.90282847563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21664430)-sin(1.21662768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346795141263788-0.346810729793632)×R²
    abs(-0.43205528--0.43210321)×1.55885298438463e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55885298438463e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55885298438463e-05×40589641000000     		ar = 11213.37699777m²