Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56521 / 44725
↖ ↑ ↗
← N 49.516293°
W 24.760437°		 ← 198.29 m → N 49.516293°
W 24.757690°		 →
↑
198.27 m
↓
↑
198.27 m
↓
N 49.514510°
W 24.760437°		 ← 198.30 m →
39 315 m²		 N 49.514510°
W 24.757690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431224822998047 y=0.341228485107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431224822998047 × 217)
    floor (0.431224822998047 × 131072)
    floor (56521.5)     		tx = 56521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341228485107422 × 217)
    floor (0.341228485107422 × 131072)
    floor (44725.5)     		ty = 44725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56521 / 44725 ti = "17/56521/44725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56521/44725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56521 ÷ 217
    56521 ÷ 131072     		x = 0.431221008300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44725 ÷ 217
    44725 ÷ 131072     		y = 0.341224670410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431221008300781 × 2 - 1) × π
    -0.137557983398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.43215115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341224670410156 × 2 - 1) × π
    0.317550659179688 × 3.1415926535     		Φ = 0.997614817992989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43215115} λ = -0.43215115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.997614817992989))-π/2
    2×atan(2.71180595768719)-π/2
    2×1.21750933923477-π/2
    2.43501867846954-1.57079632675     		φ = 0.86422235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43215115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.760437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86422235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.516293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56521 KachelY 44725 -0.43215115 0.86422235 -24.760437 49.516293
    Oben rechts KachelX + 1 56522 KachelY 44725 -0.43210321 0.86422235 -24.757690 49.516293
    Unten links KachelX 56521 KachelY + 1 44726 -0.43215115 0.86419123 -24.760437 49.514510
    Unten rechts KachelX + 1 56522 KachelY + 1 44726 -0.43210321 0.86419123 -24.757690 49.514510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86422235-0.86419123) × R
    3.11200000000511e-05 × 6371000     		dl = 198.265520000326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86422235-0.86419123) × R
    3.11200000000511e-05 × 6371000     		dr = 198.265520000326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43215115--0.43210321) × cos(0.86422235) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.649231785229543 × 6371000     		do = 198.292098435124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43215115--0.43210321) × cos(0.86419123) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.649255454495213 × 6371000     		du = 198.299327638107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86422235)-sin(0.86419123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649231785229543-0.649255454495213)×R²
    abs(-0.43210321--0.43215115)×2.3669265670212e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3669265670212e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3669265670212e-05×40589641000000     		ar = 39315.2026622291m²