Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56521 / 29645
↖ ↑ ↗
← N 69.705726°
W 24.760437°		 ← 105.93 m → N 69.705726°
W 24.757690°		 →
↑
105.95 m
↓
↑
105.95 m
↓
N 69.704773°
W 24.760437°		 ← 105.94 m →
11 224 m²		 N 69.704773°
W 24.757690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431224822998047 y=0.226177215576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431224822998047 × 217)
    floor (0.431224822998047 × 131072)
    floor (56521.5)     		tx = 56521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226177215576172 × 217)
    floor (0.226177215576172 × 131072)
    floor (29645.5)     		ty = 29645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56521 / 29645 ti = "17/56521/29645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56521/29645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56521 ÷ 217
    56521 ÷ 131072     		x = 0.431221008300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29645 ÷ 217
    29645 ÷ 131072     		y = 0.226173400878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431221008300781 × 2 - 1) × π
    -0.137557983398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.43215115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226173400878906 × 2 - 1) × π
    0.547653198242188 × 3.1415926535     		Φ = 1.72050326426344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43215115} λ = -0.43215115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72050326426344))-π/2
    2×atan(5.58733966520941)-π/2
    2×1.39369537762507-π/2
    2.78739075525013-1.57079632675     		φ = 1.21659443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43215115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.760437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21659443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.705726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56521 KachelY 29645 -0.43215115 1.21659443 -24.760437 69.705726
    Oben rechts KachelX + 1 56522 KachelY 29645 -0.43210321 1.21659443 -24.757690 69.705726
    Unten links KachelX 56521 KachelY + 1 29646 -0.43215115 1.21657780 -24.760437 69.704773
    Unten rechts KachelX + 1 56522 KachelY + 1 29646 -0.43210321 1.21657780 -24.757690 69.704773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21659443-1.21657780) × R
    1.6629999999962e-05 × 6371000     		dl = 105.949729999758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21659443-1.21657780) × R
    1.6629999999962e-05 × 6371000     		dr = 105.949729999758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43215115--0.43210321) × cos(1.21659443) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.346841915945158 × 6371000     		do = 105.934448840498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43215115--0.43210321) × cos(1.21657780) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.346857513566717 × 6371000     		du = 105.939212755605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21659443)-sin(1.21657780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346841915945158-0.346857513566717)×R²
    abs(-0.43210321--0.43215115)×1.55976215588383e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55976215588383e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55976215588383e-05×40589641000000     		ar = 11223.9786202755m²