Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56517 / 44740
↖ ↑ ↗
← N 49.489538°
W 24.771423°		 ← 198.40 m → N 49.489538°
W 24.768677°		 →
↑
198.39 m
↓
↑
198.39 m
↓
N 49.487754°
W 24.771423°		 ← 198.41 m →
39 362 m²		 N 49.487754°
W 24.768677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431194305419922 y=0.341342926025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431194305419922 × 217)
    floor (0.431194305419922 × 131072)
    floor (56517.5)     		tx = 56517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341342926025391 × 217)
    floor (0.341342926025391 × 131072)
    floor (44740.5)     		ty = 44740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56517 / 44740 ti = "17/56517/44740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56517/44740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56517 ÷ 217
    56517 ÷ 131072     		x = 0.431190490722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44740 ÷ 217
    44740 ÷ 131072     		y = 0.341339111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431190490722656 × 2 - 1) × π
    -0.137619018554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.43234290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341339111328125 × 2 - 1) × π
    0.31732177734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.996895764498688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43234290} λ = -0.43234290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.996895764498688))-π/2
    2×atan(2.70985672502272)-π/2
    2×1.2172758592119-π/2
    2.43455171842381-1.57079632675     		φ = 0.86375539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43234290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.771423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86375539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.489538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56517 KachelY 44740 -0.43234290 0.86375539 -24.771423 49.489538
    Oben rechts KachelX + 1 56518 KachelY 44740 -0.43229496 0.86375539 -24.768677 49.489538
    Unten links KachelX 56517 KachelY + 1 44741 -0.43234290 0.86372425 -24.771423 49.487754
    Unten rechts KachelX + 1 56518 KachelY + 1 44741 -0.43229496 0.86372425 -24.768677 49.487754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86375539-0.86372425) × R
    3.11400000000406e-05 × 6371000     		dl = 198.392940000259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86375539-0.86372425) × R
    3.11400000000406e-05 × 6371000     		dr = 198.392940000259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43234290--0.43229496) × cos(0.86375539) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.649586879828853 × 6371000     		do = 198.400553465888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43234290--0.43229496) × cos(0.86372425) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.649610554862611 × 6371000     		du = 198.407784430593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86375539)-sin(0.86372425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649586879828853-0.649610554862611)×R²
    abs(-0.43229496--0.43234290)×2.36750337576641e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36750337576641e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36750337576641e-05×40589641000000     		ar = 39361.9863891261m²