Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 56516 / 9183
↖ ↑ ↗
← N 78.099428°
E130.451660°		 ← 125.97 m → N 78.099428°
E130.457153°		 →
↑
125.95 m
↓
↑
125.95 m
↓
N 78.098296°
E130.451660°		 ← 125.98 m →
15 867 m²		 N 78.098296°
E130.457153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.862373352050781 y=0.140129089355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.862373352050781 × 216)
    floor (0.862373352050781 × 65536)
    floor (56516.5)     		tx = 56516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140129089355469 × 216)
    floor (0.140129089355469 × 65536)
    floor (9183.5)     		ty = 9183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56516 / 9183 ti = "16/56516/9183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56516/9183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56516 ÷ 216
    56516 ÷ 65536     		x = 0.86236572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9183 ÷ 216
    9183 ÷ 65536     		y = 0.140121459960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.86236572265625 × 2 - 1) × π
    0.7247314453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.27681098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140121459960938 × 2 - 1) × π
    0.719757080078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26118355507805
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.27681098} λ = 2.27681098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26118355507805))-π/2
    2×atan(9.59443799526811)-π/2
    2×1.46694424831239-π/2
    2.93388849662479-1.57079632675     		φ = 1.36309217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.27681098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 130.451660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36309217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.099428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56516 KachelY 9183 2.27681098 1.36309217 130.451660 78.099428
    Oben rechts KachelX + 1 56517 KachelY 9183 2.27690686 1.36309217 130.457153 78.099428
    Unten links KachelX 56516 KachelY + 1 9184 2.27681098 1.36307240 130.451660 78.098296
    Unten rechts KachelX + 1 56517 KachelY + 1 9184 2.27690686 1.36307240 130.457153 78.098296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36309217-1.36307240) × R
    1.97699999999745e-05 × 6371000     		dl = 125.954669999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36309217-1.36307240) × R
    1.97699999999745e-05 × 6371000     		dr = 125.954669999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.27681098-2.27690686) × cos(1.36309217) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.206213946803711 × 6371000     		do = 125.966094601606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.27681098-2.27690686) × cos(1.36307240) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.206233291845377 × 6371000     		du = 125.977911548938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36309217)-sin(1.36307240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206213946803711-0.206233291845377)×R²
    abs(2.27690686-2.27681098)×1.93450416656193e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.93450416656193e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.93450416656193e-05×40589641000000     		ar = 15866.7620770887m²