Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56516 / 87319
↖ ↑ ↗
← S 51.218927°
W 24.774170°		 ← 191.26 m → S 51.218927°
W 24.771423°		 →
↑
191.26 m
↓
↑
191.26 m
↓
S 51.220647°
W 24.774170°		 ← 191.26 m →
36 580 m²		 S 51.220647°
W 24.771423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431186676025391 y=0.666194915771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431186676025391 × 217)
    floor (0.431186676025391 × 131072)
    floor (56516.5)     		tx = 56516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666194915771484 × 217)
    floor (0.666194915771484 × 131072)
    floor (87319.5)     		ty = 87319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56516 / 87319 ti = "17/56516/87319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56516/87319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56516 ÷ 217
    56516 ÷ 131072     		x = 0.431182861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87319 ÷ 217
    87319 ÷ 131072     		y = 0.666191101074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431182861328125 × 2 - 1) × π
    -0.13763427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43239083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666191101074219 × 2 - 1) × π
    -0.332382202148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.04420948442368
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43239083} λ = -0.43239083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04420948442368))-π/2
    2×atan(0.351969947157035)-π/2
    2×0.338428704345184-π/2
    0.676857408690368-1.57079632675     		φ = -0.89393892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43239083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.774170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89393892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.218927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56516 KachelY 87319 -0.43239083 -0.89393892 -24.774170 -51.218927
    Oben rechts KachelX + 1 56517 KachelY 87319 -0.43234290 -0.89393892 -24.771423 -51.218927
    Unten links KachelX 56516 KachelY + 1 87320 -0.43239083 -0.89396894 -24.774170 -51.220647
    Unten rechts KachelX + 1 56517 KachelY + 1 87320 -0.43234290 -0.89396894 -24.771423 -51.220647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89393892--0.89396894) × R
    3.0020000000075e-05 × 6371000     		dl = 191.257420000478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89393892--0.89396894) × R
    3.0020000000075e-05 × 6371000     		dr = 191.257420000478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43239083--0.43234290) × cos(-0.89393892) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.6263463283547 × 6371000     		do = 191.262386309555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43239083--0.43234290) × cos(-0.89396894) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.626322926134076 × 6371000     		du = 191.255240159959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89393892)-sin(-0.89396894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6263463283547-0.626322926134076)×R²
    abs(-0.43234290--0.43239083)×2.34022206238027e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34022206238027e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34022206238027e-05×40589641000000     		ar = 36579.6671743971m²