Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56513 / 87105
↖ ↑ ↗
← S 50.849307°
W 24.782410°		 ← 192.83 m → S 50.849307°
W 24.779663°		 →
↑
192.85 m
↓
↑
192.85 m
↓
S 50.851041°
W 24.782410°		 ← 192.83 m →
37 187 m²		 S 50.851041°
W 24.779663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431163787841797 y=0.664562225341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431163787841797 × 217)
    floor (0.431163787841797 × 131072)
    floor (56513.5)     		tx = 56513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664562225341797 × 217)
    floor (0.664562225341797 × 131072)
    floor (87105.5)     		ty = 87105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56513 / 87105 ti = "17/56513/87105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56513/87105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56513 ÷ 217
    56513 ÷ 131072     		x = 0.431159973144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87105 ÷ 217
    87105 ÷ 131072     		y = 0.664558410644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431159973144531 × 2 - 1) × π
    -0.137680053710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.43253465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664558410644531 × 2 - 1) × π
    -0.329116821289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.03395098790499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43253465} λ = -0.43253465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03395098790499))-π/2
    2×atan(0.355599213213609)-π/2
    2×0.341654248008278-π/2
    0.683308496016555-1.57079632675     		φ = -0.88748783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43253465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.782410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88748783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.849307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56513 KachelY 87105 -0.43253465 -0.88748783 -24.782410 -50.849307
    Oben rechts KachelX + 1 56514 KachelY 87105 -0.43248671 -0.88748783 -24.779663 -50.849307
    Unten links KachelX 56513 KachelY + 1 87106 -0.43253465 -0.88751810 -24.782410 -50.851041
    Unten rechts KachelX + 1 56514 KachelY + 1 87106 -0.43248671 -0.88751810 -24.779663 -50.851041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88748783--0.88751810) × R
    3.02699999999989e-05 × 6371000     		dl = 192.850169999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88748783--0.88751810) × R
    3.02699999999989e-05 × 6371000     		dr = 192.850169999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43253465--0.43248671) × cos(-0.88748783) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.63136217474435 × 6371000     		do = 192.834259429399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43253465--0.43248671) × cos(-0.88751810) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.631338700430101 × 6371000     		du = 192.827089769599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88748783)-sin(-0.88751810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63136217474435-0.631338700430101)×R²
    abs(-0.43248671--0.43253465)×2.34743142493166e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34743142493166e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34743142493166e-05×40589641000000     		ar = 37187.4283805302m²