Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56513 / 44751
↖ ↑ ↗
← N 49.469909°
W 24.782410°		 ← 198.48 m → N 49.469909°
W 24.779663°		 →
↑
198.46 m
↓
↑
198.46 m
↓
N 49.468124°
W 24.782410°		 ← 198.49 m →
39 390 m²		 N 49.468124°
W 24.779663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431163787841797 y=0.341426849365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431163787841797 × 217)
    floor (0.431163787841797 × 131072)
    floor (56513.5)     		tx = 56513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341426849365234 × 217)
    floor (0.341426849365234 × 131072)
    floor (44751.5)     		ty = 44751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56513 / 44751 ti = "17/56513/44751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56513/44751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56513 ÷ 217
    56513 ÷ 131072     		x = 0.431159973144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44751 ÷ 217
    44751 ÷ 131072     		y = 0.341423034667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431159973144531 × 2 - 1) × π
    -0.137680053710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.43253465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341423034667969 × 2 - 1) × π
    0.317153930664062 × 3.1415926535     		Φ = 0.996368458602867
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43253465} λ = -0.43253465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.996368458602867))-π/2
    2×atan(2.70842817826845)-π/2
    2×1.21710455938469-π/2
    2.43420911876938-1.57079632675     		φ = 0.86341279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43253465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.782410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86341279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.469909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56513 KachelY 44751 -0.43253465 0.86341279 -24.782410 49.469909
    Oben rechts KachelX + 1 56514 KachelY 44751 -0.43248671 0.86341279 -24.779663 49.469909
    Unten links KachelX 56513 KachelY + 1 44752 -0.43253465 0.86338164 -24.782410 49.468124
    Unten rechts KachelX + 1 56514 KachelY + 1 44752 -0.43248671 0.86338164 -24.779663 49.468124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86341279-0.86338164) × R
    3.11500000000908e-05 × 6371000     		dl = 198.456650000579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86341279-0.86338164) × R
    3.11500000000908e-05 × 6371000     		dr = 198.456650000579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43253465--0.43248671) × cos(0.86341279) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.649847316154297 × 6371000     		do = 198.48009742354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43253465--0.43248671) × cos(0.86338164) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.649870991856825 × 6371000     		du = 198.487328592504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86341279)-sin(0.86338164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649847316154297-0.649870991856825)×R²
    abs(-0.43248671--0.43253465)×2.36757025283696e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36757025283696e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36757025283696e-05×40589641000000     		ar = 39390.41276634m²