Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56512 / 87104
↖ ↑ ↗
← S 50.847573°
W 24.785156°		 ← 192.80 m → S 50.847573°
W 24.782410°		 →
↑
192.85 m
↓
↑
192.85 m
↓
S 50.849307°
W 24.785156°		 ← 192.79 m →
37 181 m²		 S 50.849307°
W 24.782410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431156158447266 y=0.664554595947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431156158447266 × 217)
    floor (0.431156158447266 × 131072)
    floor (56512.5)     		tx = 56512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664554595947266 × 217)
    floor (0.664554595947266 × 131072)
    floor (87104.5)     		ty = 87104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56512 / 87104 ti = "17/56512/87104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56512/87104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56512 ÷ 217
    56512 ÷ 131072     		x = 0.43115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87104 ÷ 217
    87104 ÷ 131072     		y = 0.66455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43115234375 × 2 - 1) × π
    -0.1376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43258258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66455078125 × 2 - 1) × π
    -0.3291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.03390305100537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43258258} λ = -0.43258258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03390305100537))-π/2
    2×atan(0.355616259945978)-π/2
    2×0.341669381062138-π/2
    0.683338762124276-1.57079632675     		φ = -0.88745756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43258258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.785156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88745756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.847573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56512 KachelY 87104 -0.43258258 -0.88745756 -24.785156 -50.847573
    Oben rechts KachelX + 1 56513 KachelY 87104 -0.43253465 -0.88745756 -24.782410 -50.847573
    Unten links KachelX 56512 KachelY + 1 87105 -0.43258258 -0.88748783 -24.785156 -50.849307
    Unten rechts KachelX + 1 56513 KachelY + 1 87105 -0.43253465 -0.88748783 -24.782410 -50.849307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88745756--0.88748783) × R
    3.02699999999989e-05 × 6371000     		dl = 192.850169999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88745756--0.88748783) × R
    3.02699999999989e-05 × 6371000     		dr = 192.850169999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43258258--0.43253465) × cos(-0.88745756) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.6313856484801 × 6371000     		do = 192.801203332644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43258258--0.43253465) × cos(-0.88748783) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.63136217474435 × 6371000     		du = 192.794035345044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88745756)-sin(-0.88748783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6313856484801-0.63136217474435)×R²
    abs(-0.43253465--0.43258258)×2.34737357491799e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34737357491799e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34737357491799e-05×40589641000000     		ar = 37181.0536678662m²