Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56511 / 43255
↖ ↑ ↗
← N 52.067689°
W 24.787903°		 ← 187.75 m → N 52.067689°
W 24.785156°		 →
↑
187.75 m
↓
↑
187.75 m
↓
N 52.066000°
W 24.787903°		 ← 187.76 m →
35 252 m²		 N 52.066000°
W 24.785156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431148529052734 y=0.330013275146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431148529052734 × 217)
    floor (0.431148529052734 × 131072)
    floor (56511.5)     		tx = 56511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330013275146484 × 217)
    floor (0.330013275146484 × 131072)
    floor (43255.5)     		ty = 43255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56511 / 43255 ti = "17/56511/43255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56511/43255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56511 ÷ 217
    56511 ÷ 131072     		x = 0.431144714355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43255 ÷ 217
    43255 ÷ 131072     		y = 0.330009460449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431144714355469 × 2 - 1) × π
    -0.137710571289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.43263052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330009460449219 × 2 - 1) × π
    0.339981079101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.06808206043447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43263052} λ = -0.43263052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06808206043447))-π/2
    2×atan(2.90979333695938)-π/2
    2×1.2397744644332-π/2
    2.4795489288664-1.57079632675     		φ = 0.90875260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43263052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.787903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90875260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.067689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56511 KachelY 43255 -0.43263052 0.90875260 -24.787903 52.067689
    Oben rechts KachelX + 1 56512 KachelY 43255 -0.43258258 0.90875260 -24.785156 52.067689
    Unten links KachelX 56511 KachelY + 1 43256 -0.43263052 0.90872313 -24.787903 52.066000
    Unten rechts KachelX + 1 56512 KachelY + 1 43256 -0.43258258 0.90872313 -24.785156 52.066000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90875260-0.90872313) × R
    2.94699999999759e-05 × 6371000     		dl = 187.753369999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90875260-0.90872313) × R
    2.94699999999759e-05 × 6371000     		dr = 187.753369999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43263052--0.43258258) × cos(0.90875260) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.614730098702096 × 6371000     		do = 187.754395296455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43263052--0.43258258) × cos(0.90872313) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.614753342530432 × 6371000     		du = 187.761494559925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90875260)-sin(0.90872313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614730098702096-0.614753342530432)×R²
    abs(-0.43258258--0.43263052)×2.32438283362946e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32438283362946e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32438283362946e-05×40589641000000     		ar = 35252.1869069487m²