Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56511 / 16546
↖ ↑ ↗
← N 79.087422°
W 24.787903°		 ← 57.82 m → N 79.087422°
W 24.785156°		 →
↑
57.85 m
↓
↑
57.85 m
↓
N 79.086902°
W 24.787903°		 ← 57.82 m →
3 345 m²		 N 79.086902°
W 24.785156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431148529052734 y=0.126239776611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431148529052734 × 217)
    floor (0.431148529052734 × 131072)
    floor (56511.5)     		tx = 56511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126239776611328 × 217)
    floor (0.126239776611328 × 131072)
    floor (16546.5)     		ty = 16546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56511 / 16546 ti = "17/56511/16546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56511/16546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56511 ÷ 217
    56511 ÷ 131072     		x = 0.431144714355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16546 ÷ 217
    16546 ÷ 131072     		y = 0.126235961914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431144714355469 × 2 - 1) × π
    -0.137710571289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.43263052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126235961914062 × 2 - 1) × π
    0.747528076171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34842871238655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43263052} λ = -0.43263052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34842871238655))-π/2
    2×atan(10.4691068162684)-π/2
    2×1.47556611687023-π/2
    2.95113223374046-1.57079632675     		φ = 1.38033591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43263052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.787903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38033591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.087422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56511 KachelY 16546 -0.43263052 1.38033591 -24.787903 79.087422
    Oben rechts KachelX + 1 56512 KachelY 16546 -0.43258258 1.38033591 -24.785156 79.087422
    Unten links KachelX 56511 KachelY + 1 16547 -0.43263052 1.38032683 -24.787903 79.086902
    Unten rechts KachelX + 1 56512 KachelY + 1 16547 -0.43258258 1.38032683 -24.785156 79.086902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38033591-1.38032683) × R
    9.08000000010567e-06 × 6371000     		dl = 57.8486800006732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38033591-1.38032683) × R
    9.08000000010567e-06 × 6371000     		dr = 57.8486800006732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43263052--0.43258258) × cos(1.38033591) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.189311006185538 × 6371000     		do = 57.8204541543915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43263052--0.43258258) × cos(1.38032683) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.189319921985703 × 6371000     		du = 57.8231772692546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38033591)-sin(1.38032683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189311006185538-0.189319921985703)×R²
    abs(-0.43258258--0.43263052)×8.9158001652101e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.9158001652101e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.9158001652101e-06×40589641000000     		ar = 3344.91571418227m²