Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56510 / 43966
↖ ↑ ↗
← N 50.851041°
W 24.790650°		 ← 192.83 m → N 50.851041°
W 24.787903°		 →
↑
192.85 m
↓
↑
192.85 m
↓
N 50.849307°
W 24.790650°		 ← 192.83 m →
37 187 m²		 N 50.849307°
W 24.787903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431140899658203 y=0.335437774658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431140899658203 × 217)
    floor (0.431140899658203 × 131072)
    floor (56510.5)     		tx = 56510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335437774658203 × 217)
    floor (0.335437774658203 × 131072)
    floor (43966.5)     		ty = 43966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56510 / 43966 ti = "17/56510/43966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56510/43966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56510 ÷ 217
    56510 ÷ 131072     		x = 0.431137084960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43966 ÷ 217
    43966 ÷ 131072     		y = 0.335433959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431137084960938 × 2 - 1) × π
    -0.137725830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43267846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335433959960938 × 2 - 1) × π
    0.329132080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03399892480461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43267846} λ = -0.43267846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03399892480461))-π/2
    2×atan(2.81228951271015)-π/2
    2×1.22915721127793-π/2
    2.45831442255585-1.57079632675     		φ = 0.88751810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43267846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.790650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88751810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.851041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56510 KachelY 43966 -0.43267846 0.88751810 -24.790650 50.851041
    Oben rechts KachelX + 1 56511 KachelY 43966 -0.43263052 0.88751810 -24.787903 50.851041
    Unten links KachelX 56510 KachelY + 1 43967 -0.43267846 0.88748783 -24.790650 50.849307
    Unten rechts KachelX + 1 56511 KachelY + 1 43967 -0.43263052 0.88748783 -24.787903 50.849307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88751810-0.88748783) × R
    3.02699999999989e-05 × 6371000     		dl = 192.850169999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88751810-0.88748783) × R
    3.02699999999989e-05 × 6371000     		dr = 192.850169999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43267846--0.43263052) × cos(0.88751810) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.631338700430101 × 6371000     		do = 192.827089769375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43267846--0.43263052) × cos(0.88748783) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.63136217474435 × 6371000     		du = 192.834259429176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88751810)-sin(0.88748783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631338700430101-0.63136217474435)×R²
    abs(-0.43263052--0.43267846)×2.34743142493166e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34743142493166e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34743142493166e-05×40589641000000     		ar = 37187.4283804872m²