Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56510 / 43254
↖ ↑ ↗
← N 52.069377°
W 24.790650°		 ← 187.75 m → N 52.069377°
W 24.787903°		 →
↑
187.75 m
↓
↑
187.75 m
↓
N 52.067689°
W 24.790650°		 ← 187.75 m →
35 251 m²		 N 52.067689°
W 24.787903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431140899658203 y=0.330005645751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431140899658203 × 217)
    floor (0.431140899658203 × 131072)
    floor (56510.5)     		tx = 56510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330005645751953 × 217)
    floor (0.330005645751953 × 131072)
    floor (43254.5)     		ty = 43254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56510 / 43254 ti = "17/56510/43254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56510/43254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56510 ÷ 217
    56510 ÷ 131072     		x = 0.431137084960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43254 ÷ 217
    43254 ÷ 131072     		y = 0.330001831054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431137084960938 × 2 - 1) × π
    -0.137725830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43267846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330001831054688 × 2 - 1) × π
    0.339996337890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06812999733409
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43267846} λ = -0.43267846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06812999733409))-π/2
    2×atan(2.90993282677382)-π/2
    2×1.23978919828214-π/2
    2.47957839656427-1.57079632675     		φ = 0.90878207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43267846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.790650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90878207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.069377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56510 KachelY 43254 -0.43267846 0.90878207 -24.790650 52.069377
    Oben rechts KachelX + 1 56511 KachelY 43254 -0.43263052 0.90878207 -24.787903 52.069377
    Unten links KachelX 56510 KachelY + 1 43255 -0.43267846 0.90875260 -24.790650 52.067689
    Unten rechts KachelX + 1 56511 KachelY + 1 43255 -0.43263052 0.90875260 -24.787903 52.067689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90878207-0.90875260) × R
    2.94699999999759e-05 × 6371000     		dl = 187.753369999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90878207-0.90875260) × R
    2.94699999999759e-05 × 6371000     		dr = 187.753369999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43267846--0.43263052) × cos(0.90878207) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.614706854339878 × 6371000     		do = 187.747295869706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43267846--0.43263052) × cos(0.90875260) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.614730098702096 × 6371000     		du = 187.754395296237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90878207)-sin(0.90875260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614706854339878-0.614730098702096)×R²
    abs(-0.43263052--0.43267846)×2.32443622176781e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32443622176781e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32443622176781e-05×40589641000000     		ar = 35250.8539811547m²