Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56509 / 43250
↖ ↑ ↗
← N 52.076130°
W 24.793396°		 ← 187.68 m → N 52.076130°
W 24.790650°		 →
↑
187.69 m
↓
↑
187.69 m
↓
N 52.074442°
W 24.793396°		 ← 187.69 m →
35 226 m²		 N 52.074442°
W 24.790650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431133270263672 y=0.329975128173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431133270263672 × 217)
    floor (0.431133270263672 × 131072)
    floor (56509.5)     		tx = 56509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329975128173828 × 217)
    floor (0.329975128173828 × 131072)
    floor (43250.5)     		ty = 43250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56509 / 43250 ti = "17/56509/43250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56509/43250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56509 ÷ 217
    56509 ÷ 131072     		x = 0.431129455566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43250 ÷ 217
    43250 ÷ 131072     		y = 0.329971313476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431129455566406 × 2 - 1) × π
    -0.137741088867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.43272639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329971313476562 × 2 - 1) × π
    0.340057373046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06832174493257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43272639} λ = -0.43272639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06832174493257))-π/2
    2×atan(2.91049085290347)-π/2
    2×1.23984812810712-π/2
    2.47969625621423-1.57079632675     		φ = 0.90889993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43272639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.793396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90889993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.076130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56509 KachelY 43250 -0.43272639 0.90889993 -24.793396 52.076130
    Oben rechts KachelX + 1 56510 KachelY 43250 -0.43267846 0.90889993 -24.790650 52.076130
    Unten links KachelX 56509 KachelY + 1 43251 -0.43272639 0.90887047 -24.793396 52.074442
    Unten rechts KachelX + 1 56510 KachelY + 1 43251 -0.43267846 0.90887047 -24.790650 52.074442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90889993-0.90887047) × R
    2.94600000000367e-05 × 6371000     		dl = 187.689660000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90889993-0.90887047) × R
    2.94600000000367e-05 × 6371000     		dr = 187.689660000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43272639--0.43267846) × cos(0.90889993) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.61461388732916 × 6371000     		do = 187.679744301138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43272639--0.43267846) × cos(0.90887047) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.614637125938239 × 6371000     		du = 187.686840489981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90889993)-sin(0.90887047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61461388732916-0.614637125938239)×R²
    abs(-0.43267846--0.43272639)×2.3238609079046e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3238609079046e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3238609079046e-05×40589641000000     		ar = 35226.2133399916m²