Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56507 / 87092
↖ ↑ ↗
← S 50.826758°
W 24.798889°		 ← 192.93 m → S 50.826758°
W 24.796143°		 →
↑
192.91 m
↓
↑
192.91 m
↓
S 50.828493°
W 24.798889°		 ← 192.92 m →
37 218 m²		 S 50.828493°
W 24.796143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431118011474609 y=0.664463043212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431118011474609 × 217)
    floor (0.431118011474609 × 131072)
    floor (56507.5)     		tx = 56507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664463043212891 × 217)
    floor (0.664463043212891 × 131072)
    floor (87092.5)     		ty = 87092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56507 / 87092 ti = "17/56507/87092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56507/87092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56507 ÷ 217
    56507 ÷ 131072     		x = 0.431114196777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87092 ÷ 217
    87092 ÷ 131072     		y = 0.664459228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431114196777344 × 2 - 1) × π
    -0.137771606445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.43282227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664459228515625 × 2 - 1) × π
    -0.32891845703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03332780820993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43282227} λ = -0.43282227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03332780820993))-π/2
    2×atan(0.355820884486207)-π/2
    2×0.341851021590179-π/2
    0.683702043180357-1.57079632675     		φ = -0.88709428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43282227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.798889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88709428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.826758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56507 KachelY 87092 -0.43282227 -0.88709428 -24.798889 -50.826758
    Oben rechts KachelX + 1 56508 KachelY 87092 -0.43277433 -0.88709428 -24.796143 -50.826758
    Unten links KachelX 56507 KachelY + 1 87093 -0.43282227 -0.88712456 -24.798889 -50.828493
    Unten rechts KachelX + 1 56508 KachelY + 1 87093 -0.43277433 -0.88712456 -24.796143 -50.828493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88709428--0.88712456) × R
    3.02799999999381e-05 × 6371000     		dl = 192.913879999606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88709428--0.88712456) × R
    3.02799999999381e-05 × 6371000     		dr = 192.913879999606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43282227--0.43277433) × cos(-0.88709428) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.631667319187842 × 6371000     		do = 192.92745839686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43282227--0.43277433) × cos(-0.88712456) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.631643844643948 × 6371000     		du = 192.92028866692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88709428)-sin(-0.88712456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631667319187842-0.631643844643948)×R²
    abs(-0.43277433--0.43282227)×2.34745438932871e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34745438932871e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34745438932871e-05×40589641000000     		ar = 37217.6929905076m²