Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56507 / 43251
↖ ↑ ↗
← N 52.074442°
W 24.798889°		 ← 187.73 m → N 52.074442°
W 24.796143°		 →
↑
187.75 m
↓
↑
187.75 m
↓
N 52.072754°
W 24.798889°		 ← 187.73 m →
35 247 m²		 N 52.072754°
W 24.796143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431118011474609 y=0.329982757568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431118011474609 × 217)
    floor (0.431118011474609 × 131072)
    floor (56507.5)     		tx = 56507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329982757568359 × 217)
    floor (0.329982757568359 × 131072)
    floor (43251.5)     		ty = 43251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56507 / 43251 ti = "17/56507/43251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56507/43251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56507 ÷ 217
    56507 ÷ 131072     		x = 0.431114196777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43251 ÷ 217
    43251 ÷ 131072     		y = 0.329978942871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431114196777344 × 2 - 1) × π
    -0.137771606445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.43282227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329978942871094 × 2 - 1) × π
    0.340042114257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.06827380803295
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43282227} λ = -0.43282227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06827380803295))-π/2
    2×atan(2.91035133633963)-π/2
    2×1.23983339648647-π/2
    2.47966679297294-1.57079632675     		φ = 0.90887047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43282227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.798889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90887047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.074442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56507 KachelY 43251 -0.43282227 0.90887047 -24.798889 52.074442
    Oben rechts KachelX + 1 56508 KachelY 43251 -0.43277433 0.90887047 -24.796143 52.074442
    Unten links KachelX 56507 KachelY + 1 43252 -0.43282227 0.90884100 -24.798889 52.072754
    Unten rechts KachelX + 1 56508 KachelY + 1 43252 -0.43277433 0.90884100 -24.796143 52.072754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90887047-0.90884100) × R
    2.94699999999759e-05 × 6371000     		dl = 187.753369999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90887047-0.90884100) × R
    2.94699999999759e-05 × 6371000     		dr = 187.753369999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43282227--0.43277433) × cos(0.90887047) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.614637125938239 × 6371000     		do = 187.725999021254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43282227--0.43277433) × cos(0.90884100) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.614660371901798 × 6371000     		du = 187.733098936876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90887047)-sin(0.90884100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614637125938239-0.614660371901798)×R²
    abs(-0.43277433--0.43282227)×2.3245963559404e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3245963559404e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3245963559404e-05×40589641000000     		ar = 35246.8554718191m²