Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56507 / 15933
↖ ↑ ↗
← N 79.401600°
W 24.798889°		 ← 56.18 m → N 79.401600°
W 24.796143°		 →
↑
56.13 m
↓
↑
56.13 m
↓
N 79.401095°
W 24.798889°		 ← 56.18 m →
3 153 m²		 N 79.401095°
W 24.796143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431118011474609 y=0.121562957763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431118011474609 × 217)
    floor (0.431118011474609 × 131072)
    floor (56507.5)     		tx = 56507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121562957763672 × 217)
    floor (0.121562957763672 × 131072)
    floor (15933.5)     		ty = 15933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56507 / 15933 ti = "17/56507/15933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56507/15933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56507 ÷ 217
    56507 ÷ 131072     		x = 0.431114196777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15933 ÷ 217
    15933 ÷ 131072     		y = 0.121559143066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431114196777344 × 2 - 1) × π
    -0.137771606445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.43282227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121559143066406 × 2 - 1) × π
    0.756881713867188 × 3.1415926535     		Φ = 2.37781403185365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43282227} λ = -0.43282227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37781403185365))-π/2
    2×atan(10.7813094870264)-π/2
    2×1.47830784008402-π/2
    2.95661568016803-1.57079632675     		φ = 1.38581935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43282227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.798889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38581935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.401600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56507 KachelY 15933 -0.43282227 1.38581935 -24.798889 79.401600
    Oben rechts KachelX + 1 56508 KachelY 15933 -0.43277433 1.38581935 -24.796143 79.401600
    Unten links KachelX 56507 KachelY + 1 15934 -0.43282227 1.38581054 -24.798889 79.401095
    Unten rechts KachelX + 1 56508 KachelY + 1 15934 -0.43277433 1.38581054 -24.796143 79.401095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38581935-1.38581054) × R
    8.80999999997023e-06 × 6371000     		dl = 56.1285099998103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38581935-1.38581054) × R
    8.80999999997023e-06 × 6371000     		dr = 56.1285099998103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43282227--0.43277433) × cos(1.38581935) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.183923903136389 × 6371000     		do = 56.1750942191482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43282227--0.43277433) × cos(1.38581054) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.183932562834928 × 6371000     		du = 56.1777391139826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38581935)-sin(1.38581054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183923903136389-0.183932562834928)×R²
    abs(-0.43277433--0.43282227)×8.65969853858228e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.65969853858228e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.65969853858228e-06×40589641000000     		ar = 3153.09856474492m²