Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56506 / 43122
↖ ↑ ↗
← N 52.291682°
W 24.801636°		 ← 186.77 m → N 52.291682°
W 24.798889°		 →
↑
186.80 m
↓
↑
186.80 m
↓
N 52.290003°
W 24.801636°		 ← 186.78 m →
34 889 m²		 N 52.290003°
W 24.798889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431110382080078 y=0.328998565673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431110382080078 × 217)
    floor (0.431110382080078 × 131072)
    floor (56506.5)     		tx = 56506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328998565673828 × 217)
    floor (0.328998565673828 × 131072)
    floor (43122.5)     		ty = 43122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56506 / 43122 ti = "17/56506/43122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56506/43122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56506 ÷ 217
    56506 ÷ 131072     		x = 0.431106567382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43122 ÷ 217
    43122 ÷ 131072     		y = 0.328994750976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431106567382812 × 2 - 1) × π
    -0.137786865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43287020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328994750976562 × 2 - 1) × π
    0.342010498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.07445766808394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43287020} λ = -0.43287020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07445766808394))-π/2
    2×atan(2.9284043026825)-π/2
    2×1.24172917945139-π/2
    2.48345835890278-1.57079632675     		φ = 0.91266203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43287020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.801636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91266203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.291682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56506 KachelY 43122 -0.43287020 0.91266203 -24.801636 52.291682
    Oben rechts KachelX + 1 56507 KachelY 43122 -0.43282227 0.91266203 -24.798889 52.291682
    Unten links KachelX 56506 KachelY + 1 43123 -0.43287020 0.91263271 -24.801636 52.290003
    Unten rechts KachelX + 1 56507 KachelY + 1 43123 -0.43282227 0.91263271 -24.798889 52.290003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91266203-0.91263271) × R
    2.93199999999993e-05 × 6371000     		dl = 186.797719999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91266203-0.91263271) × R
    2.93199999999993e-05 × 6371000     		dr = 186.797719999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43287020--0.43282227) × cos(0.91266203) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.611641894707075 × 6371000     		do = 186.772210600697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43287020--0.43282227) × cos(0.91263271) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.611665090515039 × 6371000     		du = 186.779293719704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91266203)-sin(0.91263271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611641894707075-0.611665090515039)×R²
    abs(-0.43282227--0.43287020)×2.31958079635053e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.31958079635053e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.31958079635053e-05×40589641000000     		ar = 34889.2846574298m²