Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56505 / 18350
↖ ↑ ↗
← N 78.108487°
W 24.804382°		 ← 62.94 m → N 78.108487°
W 24.801636°		 →
↑
62.88 m
↓
↑
62.88 m
↓
N 78.107921°
W 24.804382°		 ← 62.94 m →
3 958 m²		 N 78.107921°
W 24.801636°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431102752685547 y=0.140003204345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431102752685547 × 217)
    floor (0.431102752685547 × 131072)
    floor (56505.5)     		tx = 56505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140003204345703 × 217)
    floor (0.140003204345703 × 131072)
    floor (18350.5)     		ty = 18350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56505 / 18350 ti = "17/56505/18350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56505/18350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56505 ÷ 217
    56505 ÷ 131072     		x = 0.431098937988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18350 ÷ 217
    18350 ÷ 131072     		y = 0.139999389648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431098937988281 × 2 - 1) × π
    -0.137802124023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.43291814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139999389648438 × 2 - 1) × π
    0.720001220703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26195054547197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43291814} λ = -0.43291814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26195054547197))-π/2
    2×atan(9.60179965984767)-π/2
    2×1.46702330070194-π/2
    2.93404660140388-1.57079632675     		φ = 1.36325027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43291814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.804382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36325027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.108487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56505 KachelY 18350 -0.43291814 1.36325027 -24.804382 78.108487
    Oben rechts KachelX + 1 56506 KachelY 18350 -0.43287020 1.36325027 -24.801636 78.108487
    Unten links KachelX 56505 KachelY + 1 18351 -0.43291814 1.36324040 -24.804382 78.107921
    Unten rechts KachelX + 1 56506 KachelY + 1 18351 -0.43287020 1.36324040 -24.801636 78.107921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36325027-1.36324040) × R
    9.8699999999674e-06 × 6371000     		dl = 62.8817699997923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36325027-1.36324040) × R
    9.8699999999674e-06 × 6371000     		dr = 62.8817699997923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43291814--0.43287020) × cos(1.36325027) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.206059242281817 × 6371000     		do = 62.935796557795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43291814--0.43287020) × cos(1.36324040) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.206068900456825 × 6371000     		du = 62.9387464130437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36325027)-sin(1.36324040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206059242281817-0.206068900456825)×R²
    abs(-0.43287020--0.43291814)×9.65817500758748e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.65817500758748e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.65817500758748e-06×40589641000000     		ar = 3957.60702993961m²